Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 34

a) $\Omega = \left\{ {10\;;\,\,11\;;\;\,12\;;\;\,13\;;\;\,...\;;\,\;98\;;\;\,99} \right\}$

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố $B:$ “Số tự nhiên được viết ra chia hết cho $11$” là:

$$11\;;\,\,22\;;\,\,33\;;\;\,44\;;\;\,55\;;\;\,66\;;\;\,77\;;\;\,88\;;\;\,99$$

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố $C$: “Số tự nhiên được viết ra chia cho $10$ dư $6$” là:

$$16\;;\;26\;;\;\,36\;;\;\,46\;;\;\,56\;;\;\,76\;;\;\,86\;;\;\,96$$

a) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức $A$ ta có:

$A = \frac{{\sqrt 9 + 4}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{7}{2}$

Vậy khi $x = 9$ thì $A = \frac{7}{2}$.

b) $B = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}$

$B = \frac{{3\sqrt x + 1 - 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$

Vậy $B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}}$ với $x \ge 0$; $x \ne 1$.

c) $\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 4\,\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 1;x \ne 3} \right)$

$\begin{array}{l}\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5\\\sqrt x + 4 \ge \frac{x}{4} + 5\\\frac{x}{4} - \sqrt x + 1 \le 0\end{array}$

$\begin{array}{l}x - 4\sqrt x + 4 \le 0\\{\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \le 0\end{array}$

Mà ${\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định.

$\begin{array}{l}{\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \le 0\\\sqrt x - 2 = 0\\\sqrt x = 2\\x = 4\end{array}$.

So với điều kiện, thỏa mãn.

Vậy $x = 4$ thì $\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5$.

Đổi $0{,}5\,{\rm{kg}} = 5{\rm{00}}\,{\rm{g}}$

Gọi khối lượng dung dịch acid có nồng độ $10\%$ đem trộn là $x$$\left( {\rm{g}} \right)$$\left( {0 < x < 500} \right)$.

Gọi khối lượng dung dịch acid có nồng độ $20\%$ đem trộn là $y$$\left( {\rm{g}} \right)$$\left( {0 < y < 500} \right)$.

Vì trộn $x$$\left( {\rm{g}} \right)$ dung dịch acid có nồng độ $10\%$ và $y$$\left( {\rm{g}} \right)$ dung dịch acid loại có nồng độ $20\%$ để được $500$${\rm{kg}}$ acid mới nên ta có phương trình: $x + y = 500$ (1)

Vì trộn hai loại dung dịch acid cùng loại có nồng độ acid lần lượt là \[10{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 0$}

\kern-0.1em/\kern-0.15em

\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 0$}}\] và $20\%$ để được $0{,}5$${\rm{kg}}$ dung dịch có nồng độ acid là $16\%$nên ta có phương trình:

$$10\% x + 20\% y = 16\% \,\,.\,\,500$$

$0{,}1x + 0{,}2y = 80$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0{,}1x + 0{,}2y = 80\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x + y = 500\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$$

Từ $\left( 2 \right)$ suy ra $y = 500 - x\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

Thay $\left( 3 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $0{,}1x + 0{,}2\,\left( {500 - x} \right) = 80$

$$0{,}1x + 100 - 0{,}2x = 80$$

$$- 0{,}1x = - 20$$

$x = 200$ (nhận)

Thay $x = 200$ vào $\left( 3 \right)$ ta được $y = 300\,$(nhận)

Vậy khối lượng dung dịch acid loại có nồng độ acid $10\%$là $20\,0\,{\rm{g}}$.

Khối lượng dung dịch acid loại có nồng độ acid $20\%$là $300\,{\rm{g}}$.

- Gọi vận tốc của xe máy thứ nhất và xe máy thứ hai lần lượt là ${\rm{x}}\,{\rm{,}}\,\,{\rm{y}}\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\,$, ${\rm{x}}\,{\rm{ > }}\,3$, ${\rm{y > }}\,0$.

- Vì xe thứ nhất đi nhanh hơn xe thứ hai là $3\,\,{\rm{km/h}}$ nên ta có: $x\, - \,y\, = \,3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

- Trong $3$ giờ $20$ phút = $\frac{{10}}{3}\,\,{\rm{h}}$, xe máy thứ nhất đi được : $\frac{{10}}{3}x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

- Trong $3$ giờ $40$ phút = $\frac{{11}}{3}\,\,{\rm{h}}$, xe máy thứ hai đi được : $\frac{{11}}{3}{\rm{y}}\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

- Đó là quãng đường từ Hà Nội đến Nam Định nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{{10}}{3}x\,\, = \frac{{11}}{3}y\\\frac{{10}}{3}x\,\, - \frac{{11}}{3}y\,\, = \,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình:

Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là $33\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$ và vận tốc xe máy thứ hai $30\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$

Quãng đường từ Hà Nội đến Nam Định là: $\frac{{10}}{3}\,\,.\,\,33 = 110\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Phương trình đã cho có $\Delta = {\left( {4m{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)^2}--{\rm{ }}12{m^2} + {\rm{ }}8m{\rm{ }} = {\rm{ }}4{m^2} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}0$, $\forall m$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\forall m$.

+ Theo ĐL Vi –ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4m - 1\\{x_1}{x_2} = 3{m^2} - 2m\end{array} \right.$.

Khi đó: $x_1^2 + x_2^2 = 7$

${({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = 7$

$${\left( {4m--1} \right)^2}--2\left( {3{m^2}--2m} \right) = 7$$

$$10{m^2}--4m--6 = 0$$

$$5{m^2}--2m--3 = 0$$

Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0 suy ra $m = 1,\,\,m = - \frac{3}{5}$.