Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 30

Số lượng ô tô ở nhóm [45;50] là nhiều nhất : 14 chiếc

Tần số tương đối của nhóm là $\frac{{14.100}}{{44}}$% $\approx 31{,}8$%

a) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Không gian mẫu của phép thử có 20 phần tử.

b) Gọi biến cố A: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1, 8, 15.

Vậy xác suất của A là $P = \frac{3}{{20}}$

a) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào $A$ ta có:

$A = \frac{{\sqrt 9 }}{{9 + 1}} = \frac{3}{{10}}$.

Vậy với $x = 9$ thì $A = \frac{3}{{10}}$.

b) Điều kiện xác định: $x > 0$.

$B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$

$= \frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x - 2 - \sqrt x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$ (đpcm).

c) $P = 2AB + \frac{4}{{x + 1}}$

$= 2.\frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x + 1}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 4}}{{x + 1}} + \frac{4}{{x + 1}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 4 + 4}}{{x + 1}}$

$= \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}}$

Xét hiệu: $P - 1 = \frac{{2\sqrt x }}{{x + 1}} - 1 = \frac{{2\sqrt x - x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}}$

Vì $x > 0 \Rightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \le 0$ (1)

Vì $x > 0 \Rightarrow x + 1 > 1 > 0$ (2)

Từ (1) và (2) $\frac{{ - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0 \Rightarrow P - 1 \le 0 \Rightarrow P \le 1$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn)

Vậy ${P_{\max }} = 1 \Leftrightarrow x = 1$.

Gọi $x$, $y$ (đồng ) lần lượt là số tiền của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT mà Mai đã mua ($x,y > 0$)

Số tiền khi mua loại hàng thứ nhất sau khi tính thuế là: $x + 12\% x = 1{,}12x$ (đồng).

Số tiền khi mua loại hàng thứ hai sau khi tính thuế là: $y + 9\% y = 1{,}09y$ (đồng).

Tổng số tiền khi mua hai loại hàng sau khi tính thuế là 165000 đồng ta có phương trình:

$1{,}12x + 1{,}09y = 165000$ (1)

Tổng số tiền thuế của hai loại hàng là 10000 đồng ta có phương trình:

$12\% x + 9\% y = 15000$

Hay $0{,}12x + 0{,}09y = 15000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1{,}12x + 1{,}09y = 165000\\0{,}12x + 0{,}09y = 15000\end{array} \right.$

Giải hệ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = 50000\\y = 100000\end{array} \right.$(thỏa mãn)

Vậy số tiền không kể thuế của loại hàng thứ nhất là 50000 đồng, số tiền không kể thuế của loại hàng thứ hai là 100000 đồng.

2) Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng trường học thân thiện

Gọi số HS lớp 9A là $x$ ( học sinh), $x \in \mathbb{N},x > 5$

Số học sinh thực tế tham gia trồng cây là : $x - 5$( học sinh)

Theo kế hoạch mỗi học sinh phải trồng số cây là: $\frac{{300}}{x}$ (cây)

Thực tế, mỗi học sinh phải trồng số cây là: $\frac{{300}}{{x - 5}}$ (cây)

Vì thực tế mỗi học sinh phải trồng thêm 2 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{{300}}{{x - 5}} - \frac{{300}}{x} = 2\\{x^2} - 5x - 750 = 0\end{array}$

Giải phương trình ta được: ${x_1} = 30$(thoả mãn); ${x_2} = - 25$(loại)

Vậy lớp 9A có 30 học sinh.