Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 22

Nhìn vào biểu đồ ta thấy:

- Lớp $6$ có tất cả: $7$nam +$\;9$ nữ = $16$ học sinh

- Lớp $7$ có tất cả: $9$nam + $7$ nữ = $16$học sinh

- Lớp $8$ có tất cả: $9$nam + $8$ nữ = $17$ học sinh

- Lớp $9$có tất cả: $9$nam + $8$ nữ = $17$ học sinh

Như vậy, không gian mẫu trong bài này có tất cả $16 + 16 + 17 + 17 = 66$ học sinh.

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $7 + 9 + 9 + 9 = 34$ học sinh

Xác suất để biến cố $A$xảy ra là: $P\left( A \right) = \frac{{34}}{{66}} = \frac{{17}}{{33}}$

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố $B$là: $16$học sinh

Xác suất để biến cố $B$ xảy ra là: $P\left( B \right) = \frac{{16}}{{66}} = \frac{8}{{33}}$

- Số kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là: $9 + 7 + 8 = 24$ học sinh

Xác suất để biến cố $C$ xảy ra là: $P\left( C \right) = \frac{{24}}{{66}} = \frac{{12}}{{33}}$.

a) Phép thử: Rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.

Kết quả của phép thử:

- Lần rút thứ nhất:$5$ kết quả có thể xảy ra ($1$;$2$;$3$;$4$;$5$ )

- Lần rút thứ hai: $4$ kết quả có thể xảy ra (vì sau lần rút thứ nhất, chit còn lại $4$ thẻ trong hộp).

b)Mô tả không gian mẫu của phép thử:

Liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử. Sử dụng cặp số $\left( {x,y} \right)$ để mô tả kết quả với:

- $x$là số trên thẻ rút ra lần thứ nhất.

- $y$là số trên thẻ rút ra lần thứ hai.

Vì tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.

Không gian mẫu:

$\Omega = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right)\,;\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\\\left( {4;3} \right);\left( {4;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right)\end{array} \right\}$

Vậy không gian mẫu có $20$ phần tử.

1) Tính giá trị của $A$ khi $x = 25$

Biểu thức: $A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}$

Điều kiện: $x \ge 0$

Với $x = 25$ thỏa mãn điều kiện

Thay $x = 25$ vào biểu thức $A$ ta có: $A = \frac{{\sqrt {25} + 3}}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Vậy với $x = 25$ thì $A = \frac{4}{3}$

2) Rút gọn $B$

Điều kiện xác định: $x \ge 0$; $x \ne 4$; $\ne x \ne 9$

Ta có: $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} - \frac{{x - 3\sqrt x + 5}}{{x - 5\sqrt x + 6}}$

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{x - 3\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) - \left( {x - 3\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - 3\sqrt x + x - 4 - x + 3\sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$

Vậy $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$

3) Cho $P = A:B$. Tìm $x$ để $2P = 2\sqrt x - 9$

Điều kiện xác định: $x \ge 0$; $x \ne 4$; $\ne x \ne 9$

Ta có: $P = A:B$$= \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}$$= \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 3}}$$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}$

Để $2P = 2\sqrt x - 9$

$\frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 1}} = 2\sqrt x - 9$

$2\sqrt x - 4 = \left( {2\sqrt x - 9} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)$

$2\sqrt x - 4 = 2x + 2\sqrt x - 9\sqrt x - 9$

$2x - 9\sqrt x + 5 = 0$

$\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right) = 0$

$\left[ \begin{array}{l}2\sqrt x + 1 = 0\,\,{\rm{(PTVN)}}\\\sqrt x - 5 = 0\end{array} \right.$

$\sqrt x - 5 = 0$

$x = 25$ (TM)

Vậy để $2P = 2\sqrt x - 9$ thì $x = 25$.

Gọi số sản phẩm tháng thứ nhất đội $I$ làm được là $x$ (sản phẩm) $\left( {x \in {\mathbb{N}^*},x < 1100} \right)$

Số sản phẩm tháng thứ nhất đội $II$ làm được là $y$ (sản phẩm) $\left( {y \in {\mathbb{N}^*},y < 1100} \right)$

Vì tháng thứ nhất hai đội sản xuất được $1100$ sản phẩm nên ta có phương trình

$x + y = 1100$ $\left( 1 \right)$

Số sản phẩm tháng thứ hai đội $I$ làm được là $x + 15\% x = 1{,}15x$ (sản phẩm)

Số sản phẩm tháng thứ hai đội $II$ làm được là $y + 20\% y = 1{,}2y$ (sản phẩm)

Theo bài ra ta có phương trình $1{,}15x + 1{,}2y = 1295$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1100\\1{,}15x + 1{,}2y = 1295\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}1{,}15x + 1{,}15y = 1265\\1{,}15x + 1{,}2y = 1295\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}0{,}05y = 30\\x + y = 1100\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x + y = 1100\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x + 600 = 1100\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}y = 600\\x = 500\end{array} \right.$ (thoả mãn điều kiện)

Vậy tháng thứ nhất đội $I$ làm được là $500$ (sản phẩm), đội $II$ làm được là $600$ (sản

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch cơ sở cần sản xuất trong một ngày là: $x$ (sản phẩm, $x > 0$)

Số sản phẩm thực tế cơ sở cần sản xuất trong một ngày là: $x + 3$ (sản phẩm, $x > 0$)

Sản phẩm cơ sở cần hoàn thành theo kế hoạch là: $180$ (sản phẩm)

Thực tế cơ sở sản xuất vượt mức $18$ sản phẩm theo kế hoạch

Số sản phẩm thực tế là: $198$ (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch cơ sở hoàn thành công việc là: $\frac{{180}}{x}$ (ngày)

Thời gian thực tế cơ sở hoàn thành công việc là: $\frac{{198}}{{x + 3}}$ (ngày)

Theo bài ra ta có phương trình:

$\frac{{180}}{x} - \frac{{198}}{{x + 3}} = 1$

$180\left( {x + 3} \right) - 198x = x\left( {x + 3} \right)$

$180x + 540 - 198x = {x^2} + 3x$

${x^2} + 21x - 540 = 0$

$$\left[ \begin{array}{l}x = 15\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\\x = - 36\,\,\,\left( {{\rm{KTM}}} \right)\end{array} \right.$$

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày cơ sở cần phải làm $15$ (sản phẩm)