Toán · Ôn vào lớp 10

Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 12

9 câu · 14 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Tại một trại hè thanh thiếu niên quốc tế, người ta tìm hiểu xem mỗi đại biểu tham dự có thể sử dụng được bao nhiêu ngoại ngữ. Kết quả được như bảng sau:

Số ngoại ngữ	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ge 5$
Số đại biểu	$84$	$64$	$24$	$16$	$12$

a) Hãy lập bảng tần số tương đối ở bảng trên.

b) Hãy tính tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất 2 ngoại ngữ.

c) Tại trại hè thanh thiếu niên quốc tế tổ chức $1$ năm trước đó, có $54$ trong tổng số $220$ đại biểu tham dự có thể sử dụng được từ $3$ ngoại ngữ trở lên. Có ý kiến cho rằng “ Tỉ lệ đại biểu sử dụng được $3$ ngoại ngữ trở lên có tăng giữa hai năm đó”. Ý kiến đó đúng hay sai? Giải thích.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Bảng tần số tương đối:

Số đại biểu	$84$	$64$	$64$	$16$ 16	12
Tần số tương đối	$42\%$	$32\%$	$12\%$	$8\%$	$6\%$

b) Tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất 2 ngoại ngữ là: $32\% {\rm{ }} + {\rm{ }}12\% {\rm{ }} + {\rm{ }}8\% {\rm{ }} + {\rm{ }}6\% {\rm{ }} = {\rm{ }}58\% .$

c) Ý kiến đó đúng vì:

- Tỉ lệ đại biểu sử dụng được 3 ngôn ngữ của 1 năm trước là: $\frac{{54}}{{220}}.100\% = 24{,}5\%$ .

- Tỉ lệ đại biểu sử dụng được 3 ngôn ngữ của nay là: . $12\% {\rm{ }} + {\rm{ }}8\% {\rm{ }} + {\rm{ }}6\% {\rm{ }} = {\rm{ }}26\% {\rm{ }} > {\rm{ }}24{,}5\%$

Câu 2

1 điểm

Một hộp có $20$ viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên bi đó các số $1{,}2{,}3,...,20$ ; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp”.

a) Liệt kê các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên viên bi được lấy ra.

b) Viết không gian mẫu phép thử đó.

c) Tính xác suất biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia $7$ dư $1$ ”.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Các kết quả có thể xảy ra là:

$1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7,{\rm{ }}8,{\rm{ }}9,{\rm{ }}10,{\rm{ }}11,{\rm{ }}12,{\rm{ }}13,{\rm{ }}14,{\rm{ }}15,{\rm{ }}16,{\rm{ }}17,{\rm{ }}18,{\rm{ }}19,{\rm{ }}20.$

b) $\Omega$ $\; = {\rm{ }}\left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}7,{\rm{ }}8,{\rm{ }}9,{\rm{ }}10,{\rm{ }}11,{\rm{ }}12,{\rm{ }}13,{\rm{ }}14,{\rm{ }}15,{\rm{ }}16,{\rm{ }}17,{\rm{ }}18,{\rm{ }}19,{\rm{ }}20} \right\}.$

c) Có 3 kết quả thuận lợi là $1{,}8{,}15$

Vậy $P\left( T \right) = \frac{3}{{20}}$ .

Câu 3

1 điểm

(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức

$N = \frac{{24}}{{\sqrt x + 6}}$ và $M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 6}} + \frac{1}{{\sqrt x - 6}} + \frac{{17\sqrt x + 30}}{{x - 36}}$ với $x \ge 0,x \ne 36.$

1) Tính giá trị của biểu thức $N$ khi $x = 9$ .

2) Rút gọn biểu thức $M.$

3) Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $L = N.M$ có giá trị nguyên lớn nhất.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Tính giá trị của biểu thức $M$ khi $x = 9.$
Thay $x = 9$ (tmđk) vào
Tính $N = \frac{{24}}{{\sqrt 9 + 6}} = \frac{8}{3}.$
Rút gọn biểu thức $M.$
$M = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right)}} + \frac{{\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right)}} + \frac{{17\sqrt x + 30}}{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right)}}$
$= \frac{{x - 6\sqrt x + \sqrt x + 6 + 17\sqrt x + 30}}{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right)}}$
$= \frac{{x + 12\sqrt x + 36}}{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 6} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 6} \right)\left( {\sqrt x - 6} \right)}}$
$= \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 6}}$
$L = N.M$ đạt giá trị nguyên lớn nhất.
$L = \frac{{24}}{{\sqrt x - 6}}$
Lý luận $P$ đạt giá trị nguyên lớn nhất khi $x = 49$ khi đó $P = 24.$

Câu 4

1 điểm

Có hai loại quặng chứa

75\%

sắt và

50\%

sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được

25

tấn quặng chứa

66\%

sắt

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi khối lượng quặng chứa $75\%$ sắt và $50\%$ sắt là $x,y$ (tấn, $x,y > 0$ )

Theo bài ra ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25\\\frac{{75x}}{{100}} + \frac{{50y}}{{100}} = \frac{{66}}{{100}}.25\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 16\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy đem $16$ tấn loại quặng chứa $75\%$ sắt, $9$ tấn loại quặng chứa $50\%$ sắt

Câu 5

1 điểm

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Hai công nhân làm chung một công việc thì sau $5$ giờ $50$ phút sẽ hoàn thành xong công việc. Sau khi làm chung $5$ giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong $2$ giờ nữa mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đổi $5h50' = \frac{{35}}{6}h.$ Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (đơn vị: giờ, $x > 0$ )
Thời gian công nhân thứ hai làm một mình xong công việc là $y$ (đơn vị: giờ, $y > 0$ )
Trong một giờ công nhân thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) Trong một giờ công nhân thứ nhất làm được $\frac{1}{y}$ (công việc)
Vì hai công nhân làm chung công việc đó sau $\frac{{35}}{6}h$ thì xong nên ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{6}{{35}}$ (1)
Vì Sau khi làm chung 5 giờ thì người thứ nhất đi làm việc khác trong khi người thứ hai vẫn tiếp tục làm trong 2 giờ nữa mới hoàn thành xong công việc nên ta có phương trình $\frac{5}{x} + \frac{7}{y} = 1$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{6}{{35}}\\\frac{5}{x} + \frac{7}{y} = 1\end{array} \right.$
Giải hệ tìm được $\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 14\end{array} \right..$ (tmđk)
Vậy công nhân thứ nhất làm một mình xong công việc trong $10$ giờ, công nhân thứ hai làm một mình xong công việc trong $14$ giờ.

Câu 6

1 điểm

Cho phương trình

3{x^2} - 11x - 15 = 0

có 2 nghiệm là

{x_1},{x_2}

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

A = \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{3{x_2}}}{{{x_1}}}

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Đường ống nối hai bể cá trong một thủy cung có dạng một hình trụ, độ dài của đường ống là

30m.

Dung tích của đường ống nói trên là

1800{\rm{ }}{m^3}.

Tính diện tích đáy của đường ống.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H.$ Gọi $K$ là trung điểm $BC.$

a) Chứng minh $\Delta AEF$ đồng dạng $\Delta ABC.$

b) Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF.$

c) Đường phân giác góc $FHB$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N.\;$ Gọi $I$ là trung điểm của $MN,\,J$ là trung điểm của $AH.$ Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.