Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Phú Diễn (Hà Nội) có đáp án

1. Hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4x - 3y = 15}\\{4x + y = 19}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế hai phương trình được $- 4y = - 4$ suy ra $y = 1$.

Thay $y = 1$ vào phương trình thứ hai: $4x + 1 = 19$ suy ra $x = \frac{9}{2}$.

Hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{9}{2};\,\,1} \right)$.

2. Thu gọn hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5\left( {x + 2} \right) = 2\left( {y + 7} \right)}\\{3\left( {x + y} \right) = 17 - x}\end{array}} \right.$ ta được: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{5x - 2y = 4}\\{4x + 3y = 17}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $3$, phương trình thứ hai với $2$:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{15x - 6y = 12}\\{8x + 6y = 34}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình được $23x = 46$ suy ra $x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình thứ nhất: $5 \cdot 1 - 2y = 4$ suy ra $y = 3$.

Hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)$.

3. Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,y \ne 0$.

Đặt $u = \frac{1}{x},\,\,v = \frac{1}{y}$, hệ trở thành: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u + v = - 1}\\{3u - 2v = 7}\end{array}} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất suy ra $v = - 1 - u$.

Thay vào phương trình thứ hai ta được: $3u - 2\left( { - 1 - u} \right) = 7$ suy ra $5u = 5$ suy ra $u = 1$.

Suy ra $v = - 1 - 1 = - 2$.

Ta có: $\frac{1}{x} = 1$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn) và $\frac{1}{y} = - 2$ suy ra $y = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\, - \frac{1}{2}} \right)$.

1. Điều kiện xác định: $x \ne 1$.

$A = 3$

$\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = 3$

$2x + 4 = 3\left( {x - 1} \right)$

$x = 7$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 7$.

2. Ta có $A = \frac{{x + 4}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 7}}{{x - 3}} = 1 + \frac{7}{{x - 3}}\,\,\left( {x \ne 3} \right)$.

Để $A$ nhận giá trị nguyên với $x \in \mathbb{Z}$ thì $\left( {x - 3} \right)$ phải là ước của $7$.

Do đó $x - 3 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 7} \right\}$.

Suy ra $x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}$.

3. Điều kiện xác định: $x \ne 2$.

Ta có:

$2P = \frac{{2\left( {3x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{3\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}} = 3 + \frac{5}{{x - 2}}$

Vì $P$ là số nguyên dương nên $2P$ là số nguyên. Với $x$ nguyên, suy ra $\left( {x - 2} \right)$ là ước của $5$:

$x - 2 \in \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}$ suy ra $x \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}$.

Thay lại vào biểu thức $P$:

Với $x = - 3$ thì $P = \frac{{3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right) - 4}} = 1$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với $x = 1$ thì $P = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{2 \cdot 1 - 4}} = - 1$ (loại vì không dương).

Với $x = 3$ thì $P = \frac{{3 \cdot 3 - 1}}{{2 \cdot 3 - 4}} = 4$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với $x = 7$ thì $P = \frac{{3 \cdot 7 - 1}}{{2 \cdot 7 - 4}} = 2$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Vậy $x \in \left\{ { - 3;\,\,3;\,\,7} \right\}$.

Gọi giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là $x$ (nghìn đồng), giá niêm yết của bộ cốc chén là $y$ (nghìn đồng) với $0 < x,\,\,y < 580$.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 580}\\{10\% x + 15\% y = 72}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 580}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + 2y = 1160}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được:

$\left( {2x + 3y} \right) - \left( {2x + 2y} \right) = 1440 - 1160$ suy ra $y = 280$ (thỏa mãn).

Thay $y = 280$ vào phương trình $x + y = 580$ ta được:

$x + 280 = 580$ suy ra $x = 580 - 280$ suy ra $x = 300$ (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là $300$ nghìn đồng, bộ cốc chén là $280$ nghìn đồng.

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là $40:2 = 20$ (m).

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là $x{\rm{\;m}}$ với $10 < x < 20$.

Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là $20 - x$ (m).

Chiều dài sau khi giảm $2{\rm{\;m}}$ là $x - 2$ (m).

Chiều rộng sau khi tăng $2{\rm{\;m}}$ là $\left( {20 - x} \right) + 2 = 22 - x$ (m).

Vì diện tích tăng thêm $4{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

$\left( {x - 2} \right)\left( {22 - x} \right) - x\left( {20 - x} \right) = 4$

$22x - {x^2} - 44 + 2x - 20x + {x^2} = 4$

$4x - 44 = 4$

$4x = 48$

$x = 12$ (thỏa mãn).

Chiều rộng ban đầu là $20 - 12 = 8$ m.

Vậy chiều dài ban đầu là $12{\rm{\;m}}$, chiều rộng ban đầu là $8{\rm{\;m}}$.

Xét hai tam giác vuông ${\rm{\Delta }}EDF$ và ${\rm{\Delta }}BAC$ có $\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ và $\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất).

Suy ra $\text{Δ}EDF∽\text{Δ}BAC$ (g.g).

Do đó, $\frac{{ED}}{{BA}} = \frac{{DF}}{{AC}}$ hay $\frac{7}{{BA}} = \frac{4}{{80}}$ suy ra $BA = \frac{{7 \cdot 80}}{4} = 140$ (m)

Số tầng của tòa nhà là:

$140:3{,}5 = 40$ (tầng).