Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Phú Diễn (Hà Nội) có đáp án

1. Hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4x - 3y = 15}\\{4x + y = 19}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế hai phương trình được $- 4y = - 4$ suy ra $y = 1$.

Thay $y = 1$ vào phương trình thứ hai: $4x + 1 = 19$ suy ra $x = \frac{9}{2}$.

Hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{9}{2};\,\,1} \right)$.

2. Thu gọn hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5\left( {x + 2} \right) = 2\left( {y + 7} \right)}\\{3\left( {x + y} \right) = 17 - x}\end{array}} \right.$ ta được: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{5x - 2y = 4}\\{4x + 3y = 17}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $3$, phương trình thứ hai với $2$:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{15x - 6y = 12}\\{8x + 6y = 34}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình được $23x = 46$ suy ra $x = 2$.

Thay $x = 2$ vào phương trình thứ nhất: $5 \cdot 1 - 2y = 4$ suy ra $y = 3$.

Hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {2;\,\,3} \right)$.

3. Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,y \ne 0$.

Đặt $u = \frac{1}{x},\,\,v = \frac{1}{y}$, hệ trở thành: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{u + v = - 1}\\{3u - 2v = 7}\end{array}} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất suy ra $v = - 1 - u$.

Thay vào phương trình thứ hai ta được: $3u - 2\left( { - 1 - u} \right) = 7$ suy ra $5u = 5$ suy ra $u = 1$.

Suy ra $v = - 1 - 1 = - 2$.

Ta có: $\frac{1}{x} = 1$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn) và $\frac{1}{y} = - 2$ suy ra $y = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\, - \frac{1}{2}} \right)$.

1. Điều kiện xác định: $x \ne 1$.

$A = 3$

$\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = 3$

$2x + 4 = 3\left( {x - 1} \right)$

$x = 7$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 7$.

2. Ta có $A = \frac{{x + 4}}{{x - 3}} = \frac{{x - 3 + 7}}{{x - 3}} = 1 + \frac{7}{{x - 3}}\,\,\left( {x \ne 3} \right)$.

Để $A$ nhận giá trị nguyên với $x \in \mathbb{Z}$ thì $\left( {x - 3} \right)$ phải là ước của $7$.

Do đó $x - 3 \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 7} \right\}$.

Suy ra $x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x \in \left\{ { - 4;\,\,2;\,\,4;\,\,10} \right\}$.

3. Điều kiện xác định: $x \ne 2$.

Ta có:

$2P = \frac{{2\left( {3x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{3\left( {x - 2} \right) + 5}}{{x - 2}} = 3 + \frac{5}{{x - 2}}$

Vì $P$ là số nguyên dương nên $2P$ là số nguyên. Với $x$ nguyên, suy ra $\left( {x - 2} \right)$ là ước của $5$:

$x - 2 \in \left\{ { - 5;\,\, - 1;\,\,1;\,\,5} \right\}$ suy ra $x \in \left\{ { - 3;\,\,1;\,\,3;\,\,7} \right\}$.

Thay lại vào biểu thức $P$:

Với $x = - 3$ thì $P = \frac{{3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1}}{{2 \cdot \left( { - 3} \right) - 4}} = 1$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với $x = 1$ thì $P = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{2 \cdot 1 - 4}} = - 1$ (loại vì không dương).

Với $x = 3$ thì $P = \frac{{3 \cdot 3 - 1}}{{2 \cdot 3 - 4}} = 4$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Với $x = 7$ thì $P = \frac{{3 \cdot 7 - 1}}{{2 \cdot 7 - 4}} = 2$ (thỏa mãn là số nguyên dương).

Vậy $x \in \left\{ { - 3;\,\,3;\,\,7} \right\}$.

Gọi giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là $x$ (nghìn đồng), giá niêm yết của bộ cốc chén là $y$ (nghìn đồng) với $0 < x,\,\,y < 580$.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 580}\\{10\% x + 15\% y = 72}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 580}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $2$:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + 2y = 1160}\\{2x + 3y = 1440}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được:

$\left( {2x + 3y} \right) - \left( {2x + 2y} \right) = 1440 - 1160$ suy ra $y = 280$ (thỏa mãn).

Thay $y = 280$ vào phương trình $x + y = 580$ ta được:

$x + 280 = 580$ suy ra $x = 580 - 280$ suy ra $x = 300$ (thỏa mãn).

Vậy giá niêm yết của chiếc ấm đun nước là $300$ nghìn đồng, bộ cốc chén là $280$ nghìn đồng.

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là $40:2 = 20$ (m).

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là $x{\rm{\;m}}$ với $10 < x < 20$.

Chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là $20 - x$ (m).

Chiều dài sau khi giảm $2{\rm{\;m}}$ là $x - 2$ (m).

Chiều rộng sau khi tăng $2{\rm{\;m}}$ là $\left( {20 - x} \right) + 2 = 22 - x$ (m).

Vì diện tích tăng thêm $4{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ nên ta có phương trình:

$\left( {x - 2} \right)\left( {22 - x} \right) - x\left( {20 - x} \right) = 4$

$22x - {x^2} - 44 + 2x - 20x + {x^2} = 4$

$4x - 44 = 4$

$4x = 48$

$x = 12$ (thỏa mãn).

Chiều rộng ban đầu là $20 - 12 = 8$ m.

Vậy chiều dài ban đầu là $12{\rm{\;m}}$, chiều rộng ban đầu là $8{\rm{\;m}}$.

Xét hai tam giác vuông ${\rm{\Delta }}EDF$ và ${\rm{\Delta }}BAC$ có $\widehat {EDF} = \widehat {BAC} = 90^\circ$ và $\widehat {EFD} = \widehat {BCA}$ (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất).

Suy ra $\text{Δ}EDF∽\text{Δ}BAC$ (g.g).

Do đó, $\frac{{ED}}{{BA}} = \frac{{DF}}{{AC}}$ hay $\frac{7}{{BA}} = \frac{4}{{80}}$ suy ra $BA = \frac{{7 \cdot 80}}{4} = 140$ (m)

Số tầng của tòa nhà là:

$140:3{,}5 = 40$ (tầng).

a) Xét ${\rm{\Delta }}ACK$ và ${\rm{\Delta }}ABH$ có:

$\widehat {AKC} = \widehat {AHB} = 90^\circ$ (do $CK \bot AB,\,\,BH \bot AC$);

$\widehat {BAC}{\rm{\;l\`a \;g\'o c\;chung}}$.

Suy ra $\text{Δ}ACK∽\text{Δ}ABH$ (g.g).

Từ đó ta có: $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}}$ suy ra $AC \cdot AH = AB \cdot AK$.

b) Từ $AC \cdot AH = AB \cdot AK$ suy ra $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}$.

Xét ${\rm{\Delta }}AHK$ và ${\rm{\Delta }}ABC$ có:

$\widehat {BAC}$ là góc chung;

$\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}}$.

Suy ra $\text{Δ}AHK∽\text{Δ}ABC$ (c.g.c).

Do đó $\widehat {AKH} = \widehat {ACB}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {AKH} + \widehat {BKH} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {BKH} + \widehat {ACB} = 180^\circ$.

c)

Xét ${\rm{\Delta }}BHM$ và ${\rm{\Delta }}BCH$ có $\widehat {BMH} = \widehat {BHC} = 90^\circ$ và $\widehat {HBC}$ là góc chung.

Suy ra $\text{Δ}BHM∽\text{Δ}BCH\$ suy ra $\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{BH}}$ suy ra $B{H^2} = BM \cdot BC$.

Trong ${\rm{\Delta }}BHM$, $BI$ là đường phân giác của góc $\widehat {HBM}{\rm{\;}}\left( {I \in HM} \right)$, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

$\frac{{IH}}{{IM}} = \frac{{BH}}{{BM}}$.

Trong ${\rm{\Delta }}BHC$, $BN$ là đường phân giác của góc $\widehat {HBC}{\rm{\;}}\,\,\left( {N \in HC} \right)$, theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta cũng có:

$\frac{{NH}}{{NC}} = \frac{{BH}}{{BC}}$.

Nhân từng vế hai tỉ số, ta được:

$\frac{{IH}}{{IM}} \cdot \frac{{NH}}{{NC}} = \frac{{BH}}{{BM}} \cdot \frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{B{H^2}}}{{BM \cdot BC}}$

Thay $B{H^2} = BM \cdot BC$ vào biểu thức:

$\frac{{IH}}{{IM}} \cdot \frac{{NH}}{{NC}} = \frac{{BM \cdot BC}}{{BM \cdot BC}} = 1$

Gọi chiều rộng và chiều dài của phần màu xám lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị: cm).

Điều kiện: $x,\,\,y > 0$.

Diện tích phần màu xám: $xy = 384$.

Chiều rộng của cả trang giấy là $x + 2 + 2 = x + 4$ cm.

Chiều dài của cả trang giấy là $y + 3 + 3 = y + 6$ cm.

Diện tích toàn bộ trang giấy:

$S = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 6} \right) = xy + 6x + 4y + 24 = 384 + 24 + 6x + 4y = 408 + 6x + 4y$.

Với $a > 0;\,\,b > 0$ ta luôn có:

${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$

${\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2\sqrt a \sqrt b + {\left( {\sqrt b } \right)^2} \ge 0$

$a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0$

$a + b \ge 2\sqrt {ab}$

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\sqrt a - \sqrt b = 0$ suy ra $\sqrt a = \sqrt b$ suy ra $a = b$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $6x$ và $4y$:

$6x + 4y \ge 2\sqrt {6x \cdot 4y} = 2\sqrt {24xy} = 2\sqrt {24 \cdot 384} = 2\sqrt {9216} = 2 \cdot 96 = 192$.

Suy ra: $S \ge 408 + 192 = 600$ cm$^{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $6x = 4y$ suy ra $y = 1{,}5x$.

Thay vào phương trình:

$$xy = 384$$

$$x \cdot 1{,}5x = 384$$

$$1{,}5{x^2} = 384$$

$${x^2} = 256$$

$x = 16$ (thỏa mãn).

Khi đó $y = 24$ (thỏa mãn).

Vậy để diện tích trang giấy nhỏ nhất thì:

Chiều ngang trang giấy là $16 + 4 = 20$ (cm).

Chiều dọc trang giấy là: $24 + 6 = 30$ (cm).