Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

1. $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x - 2y = 11\,\,\left( 1 \right)}\\{4x + y = 11\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình $\left( 2 \right)$, ta có: $y = 11 - 4x$

Thay $y = 11 - 4x$ vào phương trình $\left( 1 \right)$, ta có:

$3x - 2\left( {11 - 4x} \right) = 11$

$3x - 22 + 8x = 11$

$11x - 22 = 11$

$11x = 33$

$x = 3$.

Thay $x = 3$ vào $y = 11 - 4x$ ta được: $y = 11 - 4 \cdot 3 = 11 - 12 = - 1$.

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\, - 1} \right)$.

b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( {x - 2} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 4\,\,\left( 1 \right)}\\{\left( {2x + 1} \right)\left( {y - 4} \right) = 2xy - 33\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình thứ nhất:

$\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right) = xy$ suy ra $xy - x + 2y - 2 = xy$ suy ra $x - 2y = - 2$.

Từ phương trình thứ hai:

$\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 3$ suy ra $xy + 2x - y - 2 = xy + 3$ suy ra $2x - y = 5$.

Ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 2y = - 2}\\{2x - y = 5}\end{array}} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất suy ra $x = 2y - 2$, thay vào phương trình thứ hai, ta được:

$2\left( {2y - 2} \right) - y = 5$ suy ra $3y = 9$ suy ra $y = 3$.

Suy ra $x = 2 \cdot 3 - 2 = 4$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\,3} \right)$.

Với $x \ne 0;\,\,x \ne 1;\,\,x \ne - 1$.

1. Thay $x = 3$ (thỏa mãn) vào biểu thức $A$ ta được: $A = \frac{{2 \cdot 3 + 5}}{3} = \frac{{11}}{3}$.

Vậy khi $x = 3$ thì $A = \frac{{11}}{3}$.

2. Ta có:

$B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 1}} - \frac{2}{{{x^2} - 1}}$

$B = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} + x - 2x + 2 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{x}{{x + 1}}$.

3. Ta có: $P = A \cdot B = \frac{{2x + 5}}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) + 3}}{{x + 1}} = 2 + \frac{3}{{x + 1}}$.

Với $x \in \mathbb{Z}$, để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên thì $x + 1$ phải là ước của $3$.

Do đó $x + 1 \in \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}$, suy ra $x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}$.

Kết hợp điều kiện xác định $x \ne 0$ và $x \ne \pm 1$, ta loại $x = 0$ và nhận $x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}$.

Vậy tất cả các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}$.

Gọi chiều dài quãng đường $AB$ lúc đi là $s$ với điều kiện $s > 0$ và đơn vị tính là ${\rm{km}}$.

Thời gian ô tô đi từ điểm $A$ đến điểm $B$ là $\frac{s}{{40}}$ (giờ).

Chiều dài quãng đường lúc về là $s + 10{\rm{\;km}}$, thời gian ô tô đi từ điểm $B$ về điểm $A$ là:

$\frac{{s + 10}}{{50}}$ (giờ).

Đổi $30$ phút $= \frac{1}{2}$ giờ.

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là $30{\rm{\;ph\'u t}}$ nên ta có phương trình:

$\frac{s}{{40}} - \frac{{s + 10}}{{50}} = \frac{1}{2}$

$5s - 4\left( {s + 10} \right) = 100$

$s - 40 = 100$

$s = 140$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài quãng đường $AB$ lúc đi là $140{\rm{\;km}}$.

Gọi số chi tiết máy theo kế hoạch tổ I và tổ II sản xuất lần lượt là $x$ và $y$ (chi tiết máy).

Điều kiện: $x,\,\,y \in {\mathbb{N}^ * }$ và $x,\,\,y < 800$.

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất tổng cộng $800$ chi tiết máy nên ta có phương trình:

$x + y = 800$.

Thực tế tổ I vượt mức $20\%$ nên sản xuất được $\left( {1 + 20\% } \right)x = 1{,}2x$ (chi tiết máy).

Thực tế tổ II vượt mức $10\%$ nên sản xuất được $\left( {1 + 10\% } \right)y = 1{,}1y$ (chi tiết máy).

Cả hai tổ sản xuất được tổng cộng $923$ chi tiết máy nên ta có phương trình:

$1{,}2x + 1{,}1y = 923$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 800\,\,\left( 1 \right)}\\{1{,}2x + 1{,}1y = 923\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (1) ta có: $y = 800 - x$.

Thế $y = 800 - x$ vào phương trình (2):

$1{,}2x + 1{,}1\left( {800 - x} \right) = 923$

$1{,}2x + 880 - 1{,}1x = 923$

$0{,}1x + 880 = 923$

$0{,}1x = 923 - 880$

$0{,}1x = 43$

$x = 430$ (thỏa mãn).

Suy ra: $y = 800 - 430 = 370$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch tổ I phải sản xuất $430$ chi tiết máy, tổ II phải sản xuất $370$ chi tiết máy.

Gọi $AB$ là chiếc thang, $AC$ là khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Khi đó, tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $AB = 3{,}5$ m và $\widehat {BAC} = 65^\circ$

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào $\Delta ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$AC = AB \cdot \cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = 3{,}5 \cdot \cos \left( {65^\circ } \right) \approx 1{,}48$ (m).

Vậy khoảng cách từ chân thang $A$ đến chân tường $C$ khoảng $1{,}48$ m.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào $\Delta ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{3{,}5}} = \frac{{12}}{{35}}$ suy ra $\widehat {BAC} \approx 70^\circ$.

Vậy góc tạo bởi thang và mặt đất lúc này xấp xỉ $70^\circ$.