Đề KSCL Toán 9 tháng 9 năm 2026-2027 Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Hà Nội) có đáp án

1. $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3x - 2y = 11\,\,\left( 1 \right)}\\{4x + y = 11\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình $\left( 2 \right)$, ta có: $y = 11 - 4x$

Thay $y = 11 - 4x$ vào phương trình $\left( 1 \right)$, ta có:

$3x - 2\left( {11 - 4x} \right) = 11$

$3x - 22 + 8x = 11$

$11x - 22 = 11$

$11x = 33$

$x = 3$.

Thay $x = 3$ vào $y = 11 - 4x$ ta được: $y = 11 - 4 \cdot 3 = 11 - 12 = - 1$.

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\, - 1} \right)$.

b) Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\left( {x - 2} \right)\left( {y + 5} \right) = xy + 4\,\,\left( 1 \right)}\\{\left( {2x + 1} \right)\left( {y - 4} \right) = 2xy - 33\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình thứ nhất:

$\left( {x + 2} \right)\left( {y - 1} \right) = xy$ suy ra $xy - x + 2y - 2 = xy$ suy ra $x - 2y = - 2$.

Từ phương trình thứ hai:

$\left( {x - 1} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 3$ suy ra $xy + 2x - y - 2 = xy + 3$ suy ra $2x - y = 5$.

Ta có hệ: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 2y = - 2}\\{2x - y = 5}\end{array}} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất suy ra $x = 2y - 2$, thay vào phương trình thứ hai, ta được:

$2\left( {2y - 2} \right) - y = 5$ suy ra $3y = 9$ suy ra $y = 3$.

Suy ra $x = 2 \cdot 3 - 2 = 4$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\,3} \right)$.

Với $x \ne 0;\,\,x \ne 1;\,\,x \ne - 1$.

1. Thay $x = 3$ (thỏa mãn) vào biểu thức $A$ ta được: $A = \frac{{2 \cdot 3 + 5}}{3} = \frac{{11}}{3}$.

Vậy khi $x = 3$ thì $A = \frac{{11}}{3}$.

2. Ta có:

$B = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{2}{{x + 1}} - \frac{2}{{{x^2} - 1}}$

$B = \frac{{x\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} + x - 2x + 2 - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{x}{{x + 1}}$.

3. Ta có: $P = A \cdot B = \frac{{2x + 5}}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2x + 5}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) + 3}}{{x + 1}} = 2 + \frac{3}{{x + 1}}$.

Với $x \in \mathbb{Z}$, để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên thì $x + 1$ phải là ước của $3$.

Do đó $x + 1 \in \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}$, suy ra $x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,0;\,\,2} \right\}$.

Kết hợp điều kiện xác định $x \ne 0$ và $x \ne \pm 1$, ta loại $x = 0$ và nhận $x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}$.

Vậy tất cả các giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $x \in \left\{ { - 4;\,\, - 2;\,\,2} \right\}$.

Gọi chiều dài quãng đường $AB$ lúc đi là $s$ với điều kiện $s > 0$ và đơn vị tính là ${\rm{km}}$.

Thời gian ô tô đi từ điểm $A$ đến điểm $B$ là $\frac{s}{{40}}$ (giờ).

Chiều dài quãng đường lúc về là $s + 10{\rm{\;km}}$, thời gian ô tô đi từ điểm $B$ về điểm $A$ là:

$\frac{{s + 10}}{{50}}$ (giờ).

Đổi $30$ phút $= \frac{1}{2}$ giờ.

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là $30{\rm{\;ph\'u t}}$ nên ta có phương trình:

$\frac{s}{{40}} - \frac{{s + 10}}{{50}} = \frac{1}{2}$

$5s - 4\left( {s + 10} \right) = 100$

$s - 40 = 100$

$s = 140$ (thỏa mãn).

Vậy chiều dài quãng đường $AB$ lúc đi là $140{\rm{\;km}}$.

Gọi số chi tiết máy theo kế hoạch tổ I và tổ II sản xuất lần lượt là $x$ và $y$ (chi tiết máy).

Điều kiện: $x,\,\,y \in {\mathbb{N}^ * }$ và $x,\,\,y < 800$.

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất tổng cộng $800$ chi tiết máy nên ta có phương trình:

$x + y = 800$.

Thực tế tổ I vượt mức $20\%$ nên sản xuất được $\left( {1 + 20\% } \right)x = 1{,}2x$ (chi tiết máy).

Thực tế tổ II vượt mức $10\%$ nên sản xuất được $\left( {1 + 10\% } \right)y = 1{,}1y$ (chi tiết máy).

Cả hai tổ sản xuất được tổng cộng $923$ chi tiết máy nên ta có phương trình:

$1{,}2x + 1{,}1y = 923$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 800\,\,\left( 1 \right)}\\{1{,}2x + 1{,}1y = 923\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (1) ta có: $y = 800 - x$.

Thế $y = 800 - x$ vào phương trình (2):

$1{,}2x + 1{,}1\left( {800 - x} \right) = 923$

$1{,}2x + 880 - 1{,}1x = 923$

$0{,}1x + 880 = 923$

$0{,}1x = 923 - 880$

$0{,}1x = 43$

$x = 430$ (thỏa mãn).

Suy ra: $y = 800 - 430 = 370$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch tổ I phải sản xuất $430$ chi tiết máy, tổ II phải sản xuất $370$ chi tiết máy.

Gọi $AB$ là chiếc thang, $AC$ là khoảng cách từ chân thang đến chân tường. Khi đó, tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $AB = 3{,}5$ m và $\widehat {BAC} = 65^\circ$

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào $\Delta ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$AC = AB \cdot \cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = 3{,}5 \cdot \cos \left( {65^\circ } \right) \approx 1{,}48$ (m).

Vậy khoảng cách từ chân thang $A$ đến chân tường $C$ khoảng $1{,}48$ m.

b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào $\Delta ABC$ vuông tại $C$ ta có:

$\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{3{,}5}} = \frac{{12}}{{35}}$ suy ra $\widehat {BAC} \approx 70^\circ$.

Vậy góc tạo bởi thang và mặt đất lúc này xấp xỉ $70^\circ$.

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ$;

$\widehat {ABC}$ là góc chung.

Do đó $\text{Δ}ABC∽\text{Δ}HBA$.

b) Xét $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ và $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên đoạn thẳng $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Suy ra đường thẳng $MN\,{\rm{//}}\,AC$.

Lại có $AC \bot AB$ nên $MN \bot AB$, do đó $IN \bot AB$ tại điểm $N$.

Xét ${\rm{\Delta }}INB$ và ${\rm{\Delta }}IBM$ có:

$\widehat {INB} = \widehat {IBM} = 90^\circ$;

$\widehat {NIB}$ là góc chung.

Do đó $\text{Δ}INB∽\text{Δ}IBM$ (g.g)

Suy ra $\frac{{IN}}{{IB}} = \frac{{IB}}{{IM}}$ suy ra $I{B^2} = IM \cdot IN$.

c)

Gọi điểm $K$ là giao điểm của đường thẳng $CA$ và đường thẳng $BI$.

Vì $IN\,{\rm{//}}\,AC$ và ba điểm $A,\,\,K,\,\,C$ thẳng hàng nên đường thẳng $IN\,{\rm{//}}\,AK$.

Trong tam giác $ABK$, $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $I$ thuộc đoạn thẳng $BK$ và đường thẳng $NI\,{\rm{//}}\,AK$, suy ra điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BK$.

Do đó $IB = IK$.

Mặt khác, vì $AH \bot BC$ và $BK \bot BC$ nên $AH\,{\rm{//}}\,BK$.

Do điểm $O$ là giao điểm của đường thẳng $IC$ và đoạn thẳng $AH$ nên ta có:

$OA\,{\rm{//}}\,KI$ suy ra $ΔCOA∽ΔCIK$ suy ra $\frac{{OA}}{{IK}} = \frac{{CO}}{{CI}}$ (1).

$OH\,{\rm{//}}\,BI$ suy ra $ΔCHO∽ΔCBI$ suy ra $\frac{{OH}}{{IB}} = \frac{{CO}}{{CI}}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{OA}}{{IK}} = \frac{{OH}}{{IB}}$.

Vì $IK = IB$ nên $OA = OH$, do đó điểm $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AH$.

Thể tích chiếc hộp hình hộp chữ nhật không nắp là:

$V = {x^2}h = 4000$ suy ra $h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}$ (với ${\rm{\;}}x > 0,\,\,h > 0$).

Diện tích tấm bìa các-tông dùng để làm hộp là tổng diện tích một đáy hình vuông và bốn mặt bên:

$S = {x^2} + 4xh = {x^2} + 4x \cdot \frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x} = {x^2} + \frac{{8000}}{x} + \frac{{8000}}{x}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ${x^2},\,\,\frac{{8000}}{x},\,\,\frac{{8000}}{x}$:

$S \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{{x^2} \cdot \frac{{8000}}{x} \cdot \frac{{8000}}{x}}} = 3 \cdot \sqrt[3]{{64000000}} = 3 \cdot 400 = 1200$ (cm$^{2}$).

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

${x^2} = \frac{{8000}}{x}$ suy ra ${x^3} = 8000$ suy ra $x = 20$ (cm) (thỏa mãn).

Khi đó chiều cao $h = \frac{{4000}}{{{{20}^2}}} = 10$ (cm) (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh đáy $x$ để diện tích tấm bìa nhỏ nhất là $x = 20$ cm.

*Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương $a,b,c > 0$:

$\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$ suy ra $a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$.

Chứng minh:

Đặt $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$, $z = \sqrt[3]{c}$. Vì $a,\,\,b,\,\,c > 0$ nên $x,\,\,y,\,\,z > 0$.

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$

Xét biểu thức $P = {x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz$:

$P = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz$

$P = \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} + {z^3}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)$

$P = \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right)$

$P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - xz - yz + {z^2} - 3xy} \right)$

$P = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)$

Nhân thêm 2 vào trong ngoặc để tạo thành tổng các bình phương:

$P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right]$

$P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right]$

Vì $x,\,\,y,\,\,z > 0$ nên $x + y + z > 0$.

Các bình phương ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$, ${\left( {y - z} \right)^2} \ge 0$, ${\left( {z - x} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x,\,\,y,\,\,z$.

Do đó:

$P = \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] \ge 0$

Suy ra ${x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz \ge 0$ suy ra ${x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz$.

Thay lại $x = \sqrt[3]{a}$, $y = \sqrt[3]{b}$, $z = \sqrt[3]{c}$, ta được:

$a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}$ suy ra $\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $x - y = y - z = z - x = 0$ suy ra $x = y = z$ hay $a = b = c$.