Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\\{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\end{array} \right.$.

$\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\left( {{d_1};{d_2}} \right) = {30^0}$

Trục $Ox$ có VTCP $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right).$

Đường thẳng $d$ có VTCP $\vec u = \left( {1;2;2} \right).$

Vậy $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow i ,\vec u} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}.$

Ta có $\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0 \Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

$\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0 \Rightarrow$VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)$.

$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $\left( d \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$), ta có:

$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Khi đó $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{1}{6}} = \frac{{\sqrt {30} }}{6}$.

Theo bài ra ta có: $(P) \bot d.$ Và $(P) \cap d = I(1;0;0)$ $\Rightarrow$ $AI = \sqrt 2 .$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng ${d_1}$ ta có $HI = 1$

Trong tam giác vuông $HAI$ ta có $\sin \hat A = \frac{{HI}}{{AI}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \hat A = {45^0} \Rightarrow 2\hat A = {90^0}$

$\Rightarrow \varphi = {180^0} - 2\hat A = 90$.

Vậy ta có $\sin \varphi = 1$.