Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{\overrightarrow u _{_{{d_1}}}} = \left( {1;\, - 2;\, - 3} \right)\\{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;\,1;\,5} \right)\end{array} \right.$.

$\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}.{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\vec u}_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} .\sqrt {16 + 1 + 25} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\left( {{d_1};{d_2}} \right) = {30^0}$

Trục $Ox$ có VTCP $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right).$

Đường thẳng $d$ có VTCP $\vec u = \left( {1;2;2} \right).$

Vậy $\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow i ,\vec u} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 0.2 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}.$

Ta có $\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0 \Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

$\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0 \Rightarrow$VTPT $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;2} \right)$.

$\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $\left( d \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ ($0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$), ta có:

$\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Khi đó $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - \frac{1}{6}} = \frac{{\sqrt {30} }}{6}$.

Theo bài ra ta có: $(P) \bot d.$ Và $(P) \cap d = I(1;0;0)$ $\Rightarrow$ $AI = \sqrt 2 .$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng ${d_1}$ ta có $HI = 1$

Trong tam giác vuông $HAI$ ta có $\sin \hat A = \frac{{HI}}{{AI}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \hat A = {45^0} \Rightarrow 2\hat A = {90^0}$

$\Rightarrow \varphi = {180^0} - 2\hat A = 90$.

Vậy ta có $\sin \varphi = 1$.

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 4;3} \right)$.

Vì $\Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên $\overrightarrow u \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow 2m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2m + 2$.

Mặt khác: $\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {4m - 4n + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {n^2} + 1} .\sqrt {41} }} = \frac{{\left| {4m + 5} \right|}}{{\sqrt {41} \sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}$

$= \frac{1}{{\sqrt {41} }}.\sqrt {\frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}}$.

Vì $0^\circ \le \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) \le 90^\circ$ nên $\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)$ lớn nhất khi $\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)$ lớn nhất.

Xét hàm số $f\left( m \right) = \frac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}} \Rightarrow f'\left( m \right) = \frac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}}$.

BBT

Dựa vào BBT ta có $\mathop {\max }\limits_{m \in \mathbb{R}} f\left( m \right) = 5$ tại $m = 0$.

Do đó $\left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right)$ lớn nhất khi $m = 0$. Suy ra $\sin \left( {\Delta ,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\sqrt {205} }}{{41}}$.

Chọn B.

Mặt phẳng $\left( P \right):2x - 3y - 4 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\; - 3\,;\;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có phương trình $z = 0$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0\,;\;0\,;\;1} \right)$.

Do đó, $\cos \left( {\left( P \right)\,,\;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = 0$, suy ra $\left( {\left( P \right)\,,\;\left( {Oxy} \right)} \right) = 90^\circ$.

Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ bằng $90^\circ$.

Chọn C.

Đường thẳng $d$ chứa trục $Ox$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {\,u\,} = \left( {1\,;\;0\,;\;0} \right)$; mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {\,n\,} = \left( {0\,;\;3\,;\; - 1} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $d$ và $\left( P \right)$. Ta có $\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {\,u\,} ,\overrightarrow {\,n\,} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,u\,} .\overrightarrow {\,n\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {\,u\,} } \right|.\left| {\overrightarrow {\,n\,} } \right|}} = 0$, suy ra $\alpha = 0^\circ$.

Chọn B.

Ta có $\overrightarrow {\,{u_1}} = \left( { - 1\,;\;1\,;\;0} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_1}$;

$\overrightarrow {\,{u_2}} = \left( { - 2\,;\;1\,;\; - 2} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}$.

Suy ra $\cos \left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} \,,\;\overrightarrow {u{}_2} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,{u_1}} .\overrightarrow {\,u{}_2} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {u{}_2} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.\left( { - 2} \right) + 1.1 + 0.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt 2 .3}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy $\left( {{d_1}\,,\,{d_2}} \right) = 45^\circ$.

Chọn A.

Ta có $\overrightarrow {\,{u_1}} = \left( {1\,;\; - 1\,;\;4} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_1}$;

$\overrightarrow {\,{u_2}} = \left( {2\,;\;0\,;\; - 2} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ${d_2}$.

Suy ra $\cos \left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} \,,\;\overrightarrow {u{}_2} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {\,{u_1}} .\overrightarrow {\,u{}_2} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {u{}_2} } \right|}} = \frac{6}{{2\sqrt 2 .\sqrt {18} }} = \frac{1}{2}$.

Vậy $\left( {{d_1}\,,\;{d_2}} \right) = 60^\circ$.

Chọn D.

Gọi $O = AC \cap BD$. Do $S.ABCD$ là hình chóp đều nên ta chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ.

Đặt $AB = 230 = a$, $SA = 219 = b$.

Ta có $OA = OB = OC = OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{b^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}$.

Do đó: $A\left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)$, $B\left( {0\,;\; - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)$, $C\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\;0} \right)$, $D\left( {0\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0} \right)$, $S\left( {0\,;\;0\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)$.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $G\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {SA} = \left( { - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\,;\;0\,;\; - \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}} \right)$, $\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}\,;\;\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\,;\;\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {SA\,,\;BG} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BG} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BG} } \right|}} = \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{4{b^2} - 2{a^2}}}{{12}}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}$$= \frac{{\left| { - \frac{{{a^2}}}{6} - \frac{{2{b^2} - {a^2}}}{6}} \right|}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}$$= \frac{{\frac{{{b^2}}}{3}}}{{b.\frac{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}{3}}}$

$= \frac{b}{{\sqrt {{b^2} + 8{a^2}} }}$ $= \frac{{219}}{{\sqrt {471\;161} }}$.

Vậy $\left( {SA\,,\;BG} \right) \approx 71^\circ 23'40''\;$.

Chọn D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right.$ $\Rightarrow \,\,\,BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SAB} \right) \bot BC\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right.$ nên $\left( {\left( {SBC} \right)\,,\;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB\,,\;AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ$.

Suy ra $SH = BH\tan 60^\circ = 2\sqrt 3$.

Chọn hệ tọa độ $Hxyz$ như hình vẽ.

Ta có $H\left( {0\,;\;0\,;\;0} \right)$, $A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)$, $B\left( {2\,;\;0\,;\;0} \right)$, $C\left( {2\,;\;4\,;\;0} \right)$, $S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)$, $I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)$ với $I$ là trung điểm của $AC$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có phương trình là $z = 0$.

Mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ cắt ba trục $Hx$, $Hy$, $Hz$ lần lượt tại các điểm $A\left( { - 2\,;\;0\,;\;0} \right)$, $I\left( {0\,;\;2\,;\;0} \right)$, $S\left( {0\,;\;0\,;\;2\sqrt 3 } \right)$ nên có phương trình: $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} + \frac{z}{{2\sqrt 3 }} = 1$ $\Leftrightarrow \,\,\, - 3x + 3y + \sqrt 3 z - 6 = 0$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$, ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {1.\sqrt 3 } \right|}}{{1.\sqrt {9 + 9 + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt 7 }}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng $\frac{1}{{\sqrt 7 }}$.

a) Mặt phẳng $\left( P \right):\,x - 2y + 2z - 1 = 0$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1\,;\, - 2\,;\,2} \right)$.

b)$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|$.

c) Với $m = 0$, VTPT là $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1;\,0\,;\,0} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = 1 \ne 0$. Suy ra hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ không vuông góc nhau.

d) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {1\,;\, - m\,;\,0} \right)$.

$\begin{array}{l}\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \cos {45^o}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2m} \right|}}{{3\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 7\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra tổng các giá trị của $m$ để góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng ${45^o}$ là $8$.

a) đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {1; - 2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x - y + 3z - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)$.

b) $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}}$.

c) Vì $\left( Q \right)$song song với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow n \left( {1; - 1;3} \right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$. Do đó:

$\sin \left( {d,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{6}{{11}}} = \frac{{\sqrt {66} }}{{11}}$.

d) Gọi $\left( R \right):Ax + By + Cz = 0$ là mặt phẳng đi qua gốc toạ độ, vuông góc với $\left( P \right)$ và tạo với $d$ một góc ${30^o}$.

Ta có: $\left( R \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow A - B + 3C = 0 \Rightarrow A = B - 3C$.

Mặt khác: $\sin \left( {d;\left( R \right)} \right) = \sin {30^o} = \frac{1}{2}$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {A - 2B + C} \right|}}{{\sqrt {6.\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( { - B - 2C} \right)^2} = 6\left( {2{B^2} + 10{C^2} - 6BC} \right)\\ \Leftrightarrow 8{B^2} - 52BC + 44{C^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = C\\B = \frac{{11}}{2}C\end{array} \right.\end{array}$$

Với $B = C$, chọn $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( R \right)$

Với $B = \frac{{11}}{2}C$, chọn $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;11;2} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( R \right)$

Có hai cặp vectơ pháp tuyến nên có hai mặt phẳng $\left( R \right)$thoả yêu cầu bài toán

a) S

b) Đ

c) Đ

d) Đ

* Phương án a) sai: vì $\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$

* Phương án b) đúng:

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1; - 3;2} \right)$

Trục $Ox$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\Delta ,Ox} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt {14} }}{{14}}$.

* Phương án c) đúng:

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 1; - 3;2} \right)$

Đường thẳng $\Delta '$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left( {3;2;2} \right)$

Ta có $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {14} .\sqrt {17} }} = \frac{5}{{\sqrt {238} }}$.

* Phương án d) đúng:

Hai mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là$\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;0;3} \right)$

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {6; - 5; - 4} \right)$

Đường thẳng $\Delta '$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left( {3;2;2} \right)$

Ta có $\cos \left( {d,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}.} \overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{0}{{\sqrt {77} .\sqrt {17} }} = 0 \Rightarrow \left( {d,\Delta '} \right) = {90^0}$.

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

Ta có:$A\left( {0;\;0;\;0} \right),B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),D\left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right),S\left( {0;\;0;\;1} \right)$

* Phương án a) đúng: $B\left( {1;\;0;\;0} \right),C\left( {1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)$

* Phương án b) sai: Đường thẳng $SB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right)$

* Phương án c) đúng:

Ta có $\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),$$\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)$$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)$

Vậy mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {\sqrt 3 ;\;1;\;\sqrt 3 } \right)$.

* Phương án d) đúng:

Ta có $\overrightarrow {SB} = \left( {1;\;0;\; - 1} \right),$$\overrightarrow {BC} = \left( {0;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)$$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {\sqrt 3 ;\;0;\;\sqrt 3 } \right).$ Suy ra mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\;0;\;1} \right)$.

Đường thẳng $BD$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \overrightarrow {BD} = \left( { - 1;\;\sqrt 3 ;\;0} \right)$

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {u.} \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{2.\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$

Trục $Oz$ có vecơ chỉ phương là $\overrightarrow k = \left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)$ và mặt phẳng $(α):\ 2x-y+z-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2\,;\, - 1\,;\,1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {Oz,\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {0.2 + 0.\left( { - 1} \right) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^1}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Vậy $\left( {Oz,\,\left( \alpha \right)} \right) = 24{,}1^\circ$.

Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ trên. Khi đó $A\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)$,$A'\,\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right)$,$B\,\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)$, $C\,\left( {0\,;\,3\,;\,0} \right)$.

Vì $M$ là trung điểm $BC$nên $M\,\left( {\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\,0} \right)$.

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \,\left( {3\,;\,0\,;\,0} \right)$, đường thẳng $A'M$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {A'M} = \,\left( {\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\,;\, - 5} \right)$.

Vậy $\cos \left( {AB,A'M} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'M} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'M} } \right|}} = \frac{{\left| {3.\frac{3}{2} + 0.\frac{3}{2} + 0.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {118} }}$.

Suy ra $\left( {AB,A'M} \right) = 74^\circ$.

Gọi $d'$ là đường thẳng qua $A$ và song song với $d$. Trên $d'$ lấy điểm $I$; $H$là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\left( P \right)$và $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$trên $\Delta$.

Khi đó $\left( {d,\Delta } \right) = \left( {d',\Delta } \right) = \widehat {IAK} = \alpha$.

mà $\sin \alpha = \frac{{IK}}{{IA}} \ge \frac{{IH}}{{IA}}$ suy ra ${\alpha _{\min }} \Leftrightarrow H \equiv K$ hay $\Delta$ qua $A$ và $H$, hay $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d'$ trên $\left( P \right)$.

Ta có: $\left( P \right)$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,1} \right)$, $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1\,;\,2\,;\,2} \right)$, suy ra $\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} \,} \right] = \left( {4\,;\,3\,;\, - 1} \right)$.

$\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( {AIH} \right)}}} } \right] = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {{n_{\left( p \right)}}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right] = \left( { - 2\,;\,5\,;\,7} \right)$$\Rightarrow \Delta :\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{7}$

Khi đó $\Delta \cap \left( {Oxy} \right) = B \Rightarrow B\left( {\frac{{16}}{7}\,;\,\frac{2}{7}\,;\,0} \right)$, do đó $m = \frac{{16}}{7},\,n = \frac{2}{7},\,p = 0$.

Vậy $T = 7m + 7n + p = 18$.

Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là ${\rm{ }}\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 2;1; - 2} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right)$là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;4} \right)$.

$cos\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {\left( { - 2} \right).1 + 1.1 + \left( { - 2} \right).4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }}$$= \frac{9}{{3.3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$T = 1 - 2{\cos ^2}a\, = 0$.

Đường thẳng $a:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = 1 + t\\z = - 2 + 4t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;4} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right):x + y - 2z + 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 2} \right)$.

$\sin \left( {a,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \sqrt {\frac{1}{3}} = \sin \varphi$

Độ cao của mặt bàn tính từ mặt đất là khoảng cách từ chân bàn A đến mặt phẳng $\left( P \right)$

Suy ra $d\left( {A,(P)} \right) = AH = FA.\sin \varphi = 40\sqrt 3 .\sqrt {\frac{1}{3}} = 40\,cm$.

Mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):x + 2y + z - 5 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;2;1} \right)$.

${\rm{cos}}\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$ $\Rightarrow \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ$

Khi ráp 2 mái tiếp xúc với các thanh đà bên dưới ta được$\widehat {{\rm{BAF}}} = \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) \approx 66^\circ$.

Theo đề tam giác ABF cân tại A vì $AB = AF$$\Rightarrow \widehat {AFB} = 57^\circ$

Gọi H là trung điểm BF, khi đó AH cũng là đường cao trong tam giác cân ABF.

$AF = \frac{{HF}}{{cos\widehat {AFH}}} \approx 18{,}4\,m$

Tỉ số $\frac{{AF}}{{BF}} = 0{,}92$.