Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ có các véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;\,1;\,1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Trục $Oz$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow j = \left( {0;\,0;\,1} \right)$; đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$;

Ta có: $\cos \left( {\Delta ,\,Oz} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 1.0 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}$.

Nên $\left( {\Delta ,\,Oz} \right) \approx 48^\circ$.

Hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ có các véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;\,1;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{14}}$.

Nên $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 22^\circ$.