Đề kiểm tra Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ có các véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;\,1;\,1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Trục $Oz$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow j = \left( {0;\,0;\,1} \right)$; đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)$;

Ta có: $\cos \left( {\Delta ,\,Oz} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 1.0 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}$.

Nên $\left( {\Delta ,\,Oz} \right) \approx 48^\circ$.

Hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ có các véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,2;\, - 3} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;\,1;\, - 3} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{14}}$.

Nên $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx 22^\circ$.

Đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;\, - 1;\,3} \right)$; Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 - 1.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}$.

Nên $\left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) \approx 19^\circ$.

Đường thẳng $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;\,1;\,2} \right)$; Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {6;\,2;\,3} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.6 + 1.2 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 6 }}{{21}}$.

Nên $\left( {\Delta ,\,\left( P \right)} \right) \approx 7^\circ$.

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}$.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là $6km$

Giả sử đường thẳng $d$ cắt đường thẳng $\Delta$ tại $B$, ta có: $B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in \Delta$.

Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương là: $\overrightarrow {AB} = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 1;2;2} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $d$ và $\left( P \right)$, ta có: $\sin \varphi = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0$

$\Rightarrow d$ tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc $\varphi$ nhỏ nhất khi $\varphi = 0^\circ$ hay $\sin \varphi = 0 \Rightarrow t = 0$.

Khi đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( { - 1;0; - 1} \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 1} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 2; - 2;1} \right)$

Vậy $a = - 2,b = - 2, \Rightarrow a + 2b = - 6$.

Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc $Oxyz$như sau : $O \equiv A(0;0;0)$; $A'(0;0;a)$

$B(a;0;0)$; $B'(a;0;a)$; $C(a;a;0)$; $C'(a;a;a)$; $D(0;a;0)$; $D'(0;a;a)$.

Ta có $\left( {AB'D'} \right)//\left( {C'BD} \right)$

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(C'BD)$là $\overrightarrow {{n_2}} = \left[ {\overrightarrow {C'B} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = ( - {a^2}; - {a^2};{a^2})$ hay $\overrightarrow {{n_2}} = (1;1; - 1)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(C'BD)$là $x + y - z - a = 0$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(AB'D')$ là $x + y - z = 0$.

$\Rightarrow d\left( {(AB'D'),(C'BD)} \right) = d\left( {B,(AB'D')} \right) = \frac{{\left| {a + 0 - 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.

Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai

a) Vectơ $\overrightarrow {{u_1}} = (2{,}1{,}2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _1}$.

b) Vectơ $\overrightarrow {{u_2}} = ( - 1{,}2, - 2)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta _2}$.

c) Ta có ${\rm{cos}}\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) + 1.2 + 2.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{4}{9} \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \approx 64^\circ$.

d) Trục $Ox$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow i = (1{,}0{,}0)$.

Ta có $\text{cos}({Δ}_{1},Ox)=\frac{|2.1+1.0+2.0|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}.\sqrt{{1}^{2}+{0}^{2}+{0}^{2}}}=\frac{2}{3}\Rightarrow ({Δ}_{1},Ox)\approx {48}^{^{\circ}}$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Dựa vào phương trình đường thẳng, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)$.

Ta thấy $\vec x$, $\vec u$ cùng phương. Do đó, $\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$;

b) Thay tọa độ của điểm $M$ vào $x$, $y$, $z$ của đường thẳng $\Delta$, ta thấy:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\\ - 2 = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\\t = - 5\end{array} \right.$

Do vậy,$M\left( {0;3; - 2} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$;

c) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;\,2;\,1} \right)$.

Ta thấy $\vec x$, $\vec n$ không cùng phương. Do vậy, đường thẳng $\Delta$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

d) $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\,\,\,(1)\\y = 2 - t\,\,(2)\\z = 3 + t\,\,(3)\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0$ (4)

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được: $1 + t + 2(2 - t) + 3 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow 0t + 4 = 0$ - phương trình vô nghiệm

Do vây, đường thẳng $\Delta$ không cắt mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng

a) Vectơ $\overrightarrow {{n_1}} = (1{,}2{,}1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

b) Vectơ $\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1{,}1{,}2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Ta có ${\rm{cos}}\alpha = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = {60^o}$.

c) Vectơ $\overrightarrow {{n_3}} = (m,1{,}0)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$.

$(Q) \bot (R) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_3}} = 0 \Leftrightarrow - m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.$

d) Gọi $\beta$ là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(R)$.

Ta có ${\rm{cos}}\beta = \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }}$, $\cos$của góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(R)$ bằng $\frac{{\sqrt {15} }}{6}$ khi

$$\frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{6} \Leftrightarrow 2.{\left( {m + 2} \right)^2} = 5.\left( {{m^2} + 1} \right) \Leftrightarrow - 3{m^2} + 8m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3,m = \frac{{ - 1}}{3}$$

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;0;0} \right);\overrightarrow {DC} = \left( {{x_c};{y_c} - 3;{z_c}} \right)$. Mà $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} - 3 = 0 \Leftrightarrow \\{z_C} = 0\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 3\\{z_C} = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {3;3;0} \right)$

b) $\overrightarrow {DD'} = \left( {0;0; - 3} \right);\overrightarrow {AA'} = \left( {{x_{A'}};{y_{A'}};{z_{A'}}} \right)$. Mà ta lại có $\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AA'} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 0\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} = - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)$

$\overrightarrow {A'C} = \left( {3;3;3} \right)$ nên chọn ${\overrightarrow u _{A'C}} = \left( {1;1;1} \right)$. Phương trình đường thẳng $A'C$đi qua $A'\left( {0;0; - 3} \right)$ và có ${\overrightarrow u _{A'C}} = \left( {1;1;1} \right)$ là : $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = - 3 + t\end{array} \right.$

c) $\left[ {\overrightarrow {A'B} ;\overrightarrow {A'D} } \right] = \left( { - 9; - 9;9} \right)$. Chọn ${\overrightarrow n _{(A'BD)}} = \left( {1;1; - 1} \right)$. Nên phương trình mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ đi qua điểm $A'\left( {0;0; - 3} \right)$ và có ${\overrightarrow n _{(A'BD)}} = \left( {1;1; - 1} \right)$là: $x + y - z - 3 = 0$

$$\sin \left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_{A'C}};{{\overrightarrow n }_{(A'BD)}}} \right)} \right| = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}$$

Nên $\cos \left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( {A'C;\left( {A'BD} \right)} \right)} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

d) Ta có $\overrightarrow {DC'} = \left( {3;0; - 3} \right);\overrightarrow {BC'} = \left( {0;3; - 3} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {DC'} ;\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {9;9;9} \right)$.

Chọn ${\overrightarrow n _{(C'BD)}} = \left( {1;1;1} \right)$$\Rightarrow \cos \left( {\left( {C'BD} \right);\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 1.1 + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{3}$

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {0;\,12;\,5} \right)$.

Ta có:$\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + 2 \cdot 12 + ( - 2) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {{12}^2} + {5^2}} }} = \frac{{14}}{{39}}$.

Suy ra $\left( {\Delta ,(P)} \right) \approx 21^\circ$.

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;\,2;\, - 2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {12;\,0;\,5} \right)$.

Ta có:$\sin \left( {\Delta ,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 12 + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{12}^2} + {0^2} + {5^2}} }} = \frac{2}{{39}}$.

Suy ra $\left( {\Delta ,(P)} \right) \approx 3^\circ$.

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {3;\,4;\, - 1} \right)$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {0\,;0\,;1} \right)$.

Từ đó, góc $\alpha$ giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng$(Oxy))$ có $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }}$.

Suy ra$\alpha \approx 11^\circ$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { - \sqrt 3 \,;\,1\,;\,0} \right)$;

trục $Ox$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow i = \left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {\left( P \right)\,;\,Ox} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n \,;\,\overrightarrow i } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 3 } \right|}}{{\sqrt 4 .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left( {\left( P \right)\,;\,Ox} \right) = {60^0}.$

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \,\left( {4;0; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {BC} \,\left( {0;9;0} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)$.

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là ${\vec n_1} = \left( {1;0;2} \right)$

Lại có, $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec n_2} = \left( {0;0;1} \right)$.

Từ đó, góc có $\alpha$ giữa mái nhà bên phải và nền nhà có $\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Suy ra $\alpha \approx 27^\circ$.

Ta có $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$ nên $OH \bot \left( P \right)$. Do đó $\overrightarrow {OH} = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)$.

Ta có $\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

Vây góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)$ là $45^\circ$.