Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a)$f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 2,\,\,{x_2} = 3$ và có hệ số $a = - 1 < 0$.

Ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$

b)Tam thức có $\Delta ' = - 9 < 0$ và hệ số $a = 2 > 0$ nên $f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

a) $f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + m$ ( $a = - 1 < 0$)

$\Delta ' = {( - 1)^2} - ( - 1).m = 1 + m$.

Để $f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + m < 0 \Leftrightarrow m < - 1$.

b) Tìm $m$ để $g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3$ không âm với mọi x.

Xét $m = 0$ thì $g\left( x \right) = 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$. Do đó $m = 0$ không thỏa mãn.

Xét $m \ne 0$, khi đó $g\left( x \right)$ là tam thức bậc hai có

$\Delta ' = {(m - 1)^2} - m.(m - 3) = m + 1.$

Để $g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3$không âm với mọi x, tức là $g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset$.

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 1$ có $\Delta ' = 1 > 0,a = 1 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 1;\,{x_2} = 1$.

Do đó ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$:

Nên bất phương trình ${x^2} - 1 \ge 0$ có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.

b) Dễ thấy $g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1$ có $\Delta ' = 2 > 0,a = 1 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 1 - \sqrt 2 ;\,$ ${x_2} = 1 + \sqrt 2$.

Do đó ta có bảng xét dấu $g\left( x \right)$:

Nên bất phương trình ${x^2} - 2x - 1 < 0$ có tập nghiệm là $S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)$.

c) $(4 - 3x)( - 2{x^2} + 3x - 1) \le 0$

Xét $f\left( x \right) = \left( {4 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có $T = ( - \infty ;\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: $2{x^2} - 4x - 2 = {x^2} - x - 2$

$\Leftrightarrow$ ${x^2} - 3x = 0$$\Leftrightarrow$$x = 0$ hoặc $x = 3$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 3$.

b) $\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được $3{x^2} - 6x + 1 = - 2{x^2} - 9x + 1$.

$\Leftrightarrow 5{x^2} + 3x = 0$.

$\Leftrightarrow$$x = 0$ hoặc $x = - \frac{3}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy $x = 0$ và $x = - \frac{3}{5}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {0\,;\, - \frac{3}{5}} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có : $\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\\x = 2\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$.

b) Ta có : $\sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\6 - 4x + {x^2} = {(x + 4)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x = - \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}$.

Vậy nghiệm của phương trình là:$x = - \frac{5}{6}$.