Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a)$f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 2,\,\,{x_2} = 3$ và có hệ số $a = - 1 < 0$.

Ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$

b)Tam thức có $\Delta ' = - 9 < 0$ và hệ số $a = 2 > 0$ nên $f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

a) $f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + m$ ( $a = - 1 < 0$)

$\Delta ' = {( - 1)^2} - ( - 1).m = 1 + m$.

Để $f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + m < 0 \Leftrightarrow m < - 1$.

b) Tìm $m$ để $g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3$ không âm với mọi x.

Xét $m = 0$ thì $g\left( x \right) = 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$. Do đó $m = 0$ không thỏa mãn.

Xét $m \ne 0$, khi đó $g\left( x \right)$ là tam thức bậc hai có

$\Delta ' = {(m - 1)^2} - m.(m - 3) = m + 1.$

Để $g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3$không âm với mọi x, tức là $g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset$.

Hướng dẫn giải

a) Dễ thấy $f\left( x \right) = {x^2} - 1$ có $\Delta ' = 1 > 0,a = 1 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 1;\,{x_2} = 1$.

Do đó ta có bảng xét dấu $f\left( x \right)$:

Nên bất phương trình ${x^2} - 1 \ge 0$ có tập nghiệm là $S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$.

b) Dễ thấy $g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1$ có $\Delta ' = 2 > 0,a = 1 > 0$ và có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 1 - \sqrt 2 ;\,$ ${x_2} = 1 + \sqrt 2$.

Do đó ta có bảng xét dấu $g\left( x \right)$:

Nên bất phương trình ${x^2} - 2x - 1 < 0$ có tập nghiệm là $S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)$.

c) $(4 - 3x)( - 2{x^2} + 3x - 1) \le 0$

Xét $f\left( x \right) = \left( {4 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu ta có $T = ( - \infty ;\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: $2{x^2} - 4x - 2 = {x^2} - x - 2$

$\Leftrightarrow$ ${x^2} - 3x = 0$$\Leftrightarrow$$x = 0$ hoặc $x = 3$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 3$.

b) $\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được $3{x^2} - 6x + 1 = - 2{x^2} - 9x + 1$.

$\Leftrightarrow 5{x^2} + 3x = 0$.

$\Leftrightarrow$$x = 0$ hoặc $x = - \frac{3}{5}$.

Thay lần lượt hai giá trị này của $x$ vào phương trình đã cho, ta thấy $x = 0$ và $x = - \frac{3}{5}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ {0\,;\, - \frac{3}{5}} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có : $\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\\x = 2\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$.

b) Ta có : $\sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\6 - 4x + {x^2} = {(x + 4)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x = - \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}$.

Vậy nghiệm của phương trình là:$x = - \frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $({x^2} - 3x + 2)\sqrt {x - 3} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x \ge 3\end{array} \right.\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right.\\x = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = 3$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

b) $x - \sqrt {2x + 7} = - 4 \Leftrightarrow x + 4 = \sqrt {2x + 7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{\left( {x + 4} \right)^2} = 2x + 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\{x^2} + 6x + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 3$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 3$.

Hướng dẫn giải

Vận tốc của bạn Minh: ${v_1} = 5\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Vận tốc của bạn Hùng: ${v_2} = 15\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$.

Áp dụng định lý Pithago vào tam giác vuông $AHB$: $BH = \sqrt {{{\left( {0{,}2} \right)}^2} - {{\left( {0{,}05} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Gọi $BC = x\left( {{\rm{km}}} \right),\,\,x > 0$.

Suy ra: $CH = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x$, $x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}$.

Ta cần xác định vị trí điểm $C$ để Minh và Hùng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia

Nghĩa là: ta cần tìm $x$ để thời gian hai bạn di chuyển đến $C$ là bằng nhau.

Thời gian Hùng đi từ $B$ đến $C$ là: ${t_2} = \frac{{{S_{BC}}}}{{{v_2}}} = \frac{x}{{15}}\left( h \right)$.

Quãng đường $AC$ Minh đã đi là: $AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0{,}05} \right)}^2}}$

Thời gian Minh đã đi từ $A$ đến $C$ là: ${t_1} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_1}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0{,}05} \right)}^2}} }}{5}\left( {\rm{h}} \right)$.

Theo yêu cầu bài toán: $\frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0{,}05} \right)}^2}} }}{5} = \frac{x}{{15}}$

Bình phương 2 vế: $\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0{,}05} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{{x^2}}}{{225}}$

$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9\left( {\frac{3}{{80}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{10}}x + {x^2}} \right) + \frac{9}{{400}} = {x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - \frac{{9\sqrt {15} }}{{10}}x + \frac{9}{{25}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 0{,}3\\x \approx 0{,}1\end{array} \right.\end{array}$$

Vì $0 < x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} \approx 0{,}19$ nên $x \approx 0{,}1$ thỏa mãn.

Vậy hai bạn Minh và Hùng di chuyển đến vị trí $C$ cách điểm $B$ một đoạn $x \approx 0{,}1\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 100\left( {\rm{m}} \right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4).$

Ta có $\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x = - 40$.

b) Ta có:

$|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16} = \frac{{\sqrt {101} }}{2}$ $\Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}$.

c) Ta có: $\vec a,\vec b$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}$.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng $\Delta$ cần tìm là: $2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$.

b) Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)$. Do đó $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$

Phương trình đường thẳng $\Delta$: $1\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 0$.

Hướng dẫn giải

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A.$

Đường cao kẻ từ $A$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( {5;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình là

$5x + y - 7 = 0.$

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B.$

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ thì $M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

Đường trung tuyến kẻ từ $B$ nhận $\overrightarrow {MB} = \left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$ là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = (1;7)$ và đi qua $B\left( {3;0} \right)$ nên có phương trình là: $x + 7y - 3 = 0$.

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm $M$ của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)$.

Phương trình tổng quát củađường thẳng $d$ song song với ${d_3}$ qua $M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)$ là:

$3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0$$\Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0$.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: $A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)$.

Theo giả thiết, ta có:

${\rm{cos}}45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow$$2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B = - 2\end{array} \right.$.

Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là $2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0$ và $1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

a) $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 4t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.$ qua $A\left( { - 5;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {4; - 3} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {3;4} \right)$.

Phương trình tổng quát của $\Delta$ là $3\left( {x + 5} \right) + 4\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0$.

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$.

b) Vì M trên trục $Ox$ nên $M(a;0)$.

Điểm M cách đều hai đường thẳng: ${d_1}:3x + 2y - 6 = 0$ và ${d_3}:3x + 2y + 6 = 0$ nên

$$\begin{array}{l}d(M,{d_1}) = d(M,{d_2}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a - 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 6 = 3a + 6\\3a - 6 = - \left( {3a + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0.\end{array}$$

Vậy $M(0;0)$.

Hướng dẫn giải

a) Bán kính của đường tròn là $R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5$.

Phương trình của đường tròn là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25$.

b) Toạ độ trung điểm $I$ của $AB$ là $I\left( { - 2;1} \right)$.

Bán kính của đường tròn là $R = AI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17}$.

Phương trình của đường tròn là ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17$.

c) Có tâm $I\left( {1;3} \right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $x + 2y + 3 = 0$ bằng bán kính $R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5$.

Phương trình đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có đường tròn $\left( C \right)$: ${x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 4 = 0$ $\Leftrightarrow$ ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$có tâm là điểm $I\left( { - 1;2} \right)$.

Do ${\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 1$ nên điểm $M$ thuộc đường tròn (C).

Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {0;2} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {MI} = \left( { - 1;0} \right)$, nên có phương trình

$- 1\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

b) Đường tròn (C) có tâm $I\left( {3; - 1} \right),\,R = \sqrt 5$ và tiếp tuyến có dạng

$\Delta :2x + y + c = 0\,\,\left( {c\not = 7} \right).$

Ta có $R = d\left( {I,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {c + 5} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = - 10\end{array} \right..$

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là $2x + y = 0$ và $2x + y - 10 = 0.$

Hướng dẫn giải

a) Xét (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. (E) đi qua hai điểm: $P\left( {4;\frac{9}{5}} \right)$ và $Q\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)$ nên:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16}}{{{a^2}}} + \frac{{81}}{{25{b^2}}} = 1\\\frac{9}{{{a^2}}} + \frac{{144}}{{25{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.$. Vậy phương trình elip (E) là: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

b) Xét (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. (E) đi qua $M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$ nên: $\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1$ (1)

Ta có: $\widehat {{F_1}M{F_2}} = 90^\circ$ $\Rightarrow OM = O{F_1} \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = \frac{9}{5} + \frac{{16}}{5} = 5$ và ${a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5$.

Thay vào (1) ta được:

$$\frac{9}{{5({b^2} + 5)}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 9{b^2} + 16({b^2} + 5) = 5{b^2}({b^2} + 5) \Leftrightarrow {b^4} = 16 \Leftrightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow {a^2} = 9$$

Vậy phương trình elip (E) là: $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Phương trình của parabol có dạng ${y^2} = 2px$. Lúc đó parabol đi qua điểm $M(25;60)$. Thay tọa độ điểm $M$vào phương trình parabol ta được ${60^2} = 2p.25 \Rightarrow p = \frac{{{{60}^2}}}{{50}} = 72.$

Vậy phương trình của parabol là ${y^2} = 144x$.