Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề chính thức Tốt nghiệp THPT Toán năm 2026 - Lần 2

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Phương trình $\sin x = 0$ có tập nghiệm là

Đáp án A: $S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi \;|\;k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
Đáp án B: $S = \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
Đáp án C: $S = \left\{ {k2\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
Đáp án D: $S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Phương trình $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

Tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {k\pi \mid k \in \mathbb{Z}} \right\}$ . Chọn B.

Câu 2

0,25 điểm

Sau khi khảo sát về mức lương khởi điểm (đơn vị: triệu đồng) của 20 công nhân, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Mức lương	$\left[ {5;6} \right)$	$\left[ {6;7} \right)$	$\left[ {7;8} \right)$	$\left[ {8;9} \right)$	$\left[ {9;10} \right)$	$\left[ {10;11} \right)$
Tần số	4	5	5	3	2	1

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng

Đáp án A: $6$ .
Đáp án B: $1$ .
Đáp án C: $7{,}35$ .
Đáp án D: $1{,}42$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

R = 11 - 5 = 6

. Chọn A.

Câu 3

0,25 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, phương trình của đường thẳng đi qua điểm

A\left( {1;3; - 5} \right)

và có một vectơ chỉ phương

\overrightarrow u = \left( {2; - 1;3} \right)

là

Đáp án A: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{3}$ .
Đáp án B: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{3}$ .
Đáp án C: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{3}$ .
Đáp án D: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{3}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đường thẳng đi qua điểm

A\left( {1;3; - 5} \right)

và có một vectơ chỉ phương

\overrightarrow u = \left( {2; - 1;3} \right)

có phương trình chính tắc là:

\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{3}

. Chọn C.

Câu 4

0,25 điểm

Cho hàm số

f\left( x \right)

liên tục trên

\mathbb{R}

có một nguyên hàm là

F\left( x \right)

thỏa mãn

F\left( 1 \right) = 3

F\left( 2 \right) = 9

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án A: $\int\limits_1^2 f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 12$ .
Đáp án B: $\int\limits_1^2 f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 3$ .
Đáp án C: $\int\limits_1^2 f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 6$ .
Đáp án D: $\int\limits_1^2 f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 27$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 9 - 3 = 6

. Chọn C.

Câu 5

0,25 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right) = \frac{{ax + 4}}{{3x + 1}}

(với

a > 12

). Đạo hàm của hàm số đã cho là

Đáp án A: $y' = \frac{{ - a - 12}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}$ .
Đáp án B: $y' = \frac{{a - 12}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}$ .
Đáp án C: $y' = \frac{{a + 12}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}$ .
Đáp án D: $y' = \frac{{12 - a}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

y' = \frac{{a \cdot 1 - 4 \cdot 3}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{a - 12}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}

. Chọn B.

Câu 6

0,25 điểm

Cho hàm số

f\left( x \right) = ax + b

(

a,b \in \mathbb{R},a \ne 0

). Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án A: $\int 7 f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 7 + \int f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$ .
Đáp án B: $\int 7 f\left( x \right){\rm{d}}x = 7\int f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$ .
Đáp án C: $\int 7 f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 7 - \int f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$ .
Đáp án D: $\int 7 f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = - 7\int f \left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ như sau

Hình minh hoạ

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$ bằng

Đáp án A: $1$ .
Đáp án B: $5$ .
Đáp án C: $0$ .
Đáp án D: $- 4$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Sau khi khảo sát tổng số giờ xem truyền hình (đơn vị: giờ) của 100 gia đình trong hai ngày nghỉ cuối tuần, người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Số giờ xem truyền hình	$\left[ {0;2} \right)$	$\left[ {2;4} \right)$	$\left[ {4;6} \right)$	$\left[ {6;8} \right)$	$\left[ {8;10} \right)$
Tần số	20	35	30	10	5

Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đó bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Đáp án A: $3{,}9$ .
Đáp án B: $4{,}6$ .
Đáp án C: $2{,}1$ .
Đáp án D: 10.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Cho hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

(xem hình minh họa bên dưới). Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ

\overrightarrow {A'D'}

Đáp án A: $\overrightarrow {BD}$ .
Đáp án B: $\overrightarrow {AB}$ .
Đáp án C: $\overrightarrow {AC}$ .
Đáp án D: $\overrightarrow {AD}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

có công bội

q

với

{u_1} = m

và

{u_2} = n

, trong đó

m > 2,n > 2m

. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án A: $n = m \cdot q$ .
Đáp án B: $m = n + q$ .
Đáp án C: $m = n \cdot q$ .
Đáp án D: $n = m + q$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ . Đường thẳng $BC$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $\left( {SCD} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {SAB} \right)$ .
Đáp án C: $\left( {SBC} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {SBD} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Nguyên hàm của hàm số

f\left( x \right) = 3{x^2} - \cos x

là

Đáp án A: ${x^3} + \sin x + C$ .
Đáp án B: $6x + \sin x + C$ .
Đáp án C: $6x - \sin x + C$ .
Đáp án D: ${x^3} - \sin x + C$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 2$ .

Ý a: Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9$ .
Ý b: Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có tập nghiệm là $S = \left\{ {1;3} \right\}$ .
Ý c: Hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ tại $x = 2$ .
Ý d: Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ . Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ${M_1}\left( {{x_1};f\left( {{x_1}} \right)} \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};f\left( {{x_2}} \right)} \right)$ là $y = - 2x + 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Người ta dùng một thiết bị bơm nước vào một bể không có nước. Tính từ lúc thiết bị bắt đầu hoạt động, tại thời điểm $t$ giờ với $0 \le t \le 8$ , thiết bị đó có tốc độ bơm nước vào bể là $f\left( t \right)$ (m $^{3}$ /giờ). Biết rằng đồ thị của hàm số $y = f\left( t \right)$ là một phần đường parabol đi qua gốc tọa độ $O$ và hai điểm $A\left( {2;3} \right)$ , $B\left( {6;3} \right)$ (xem hình minh họa bên dưới).

Hình minh hoạ

Ý a: Với $0 \le t \le 8$ thì $f\left( t \right) = 3t - \frac{{{t^2}}}{6}$ (m $^{3}$ /giờ).
Ý b: Tại thời điểm $t$ giờ ( $0 \le t \le 8$ ) tính từ lúc thiết bị bắt đầu hoạt động, lượng nước trong bể là $V\left( t \right) = {t^2} - \frac{{{t^3}}}{{12}}{\rm{ (}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}$ .
Ý c: Tại thời điểm thiết bị có tốc độ bơm nước vào bể là lớn nhất, lượng nước trong bể lớn hơn $10{,}7$ mét khối.
Ý d: Sau $\frac{a}{b}$ giờ tính từ lúc thiết bị bắt đầu hoạt động (trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$ ), lượng nước trong bể là $13{,}824$ mét khối. Khi đó, giá trị của $a + b$ là 29.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí

I\left( {2;1;12} \right)

, trong đó một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với

10{\rm{ m\'e t}}

trên thực tế. Trạm thu phát sóng đó có bán kính phủ sóng là

130

mét. Vùng phủ sóng của trạm thu phát được quy ước là tập hợp tất cả các điểm

P

trên mặt đất và trong không gian sao cho khoảng cách

IP

không vượt quá

130

mét. Mặt đất được coi là một phần của mặt phẳng

\left( {Oxy} \right)

và mỗi người trên mặt đất được coi như một chất điểm.

Ý a: Vùng phủ sóng của trạm thu phát là một phần của hình cầu giới hạn bởi mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 12} \right)^2} = 169$ .
Ý b: Giả sử một người cầm điện thoại đang ở vị trí điểm $M\left( {3;1;0} \right)$ và chuyển động thẳng đều trên mặt đất với tốc độ $3{,}6{\rm{ km/h}}$ . Khi đó, tại giây thứ 40 tính từ lúc xuất phát ở vị trí điểm $M\left( {3;1;0} \right),$ người đó đã đi được ra ngoài vùng phủ sóng của trạm thu phát.
Ý c: Khoảng cách ngắn nhất để một người cầm điện thoại đang ở vị trí có tọa độ $N\left( {8;9;0} \right)$ di chuyển trên mặt đất tới được vùng phủ sóng (theo đơn vị mét) là $100{\rm{ m}}$ .
Ý d: Giả sử một người cầm điện thoại chuyển động thẳng đều trên mặt đất từ vị trí $A\left( {6;9;0} \right)$ đến vị trí $B\left( { - 4;b;0} \right)$ với tốc độ $3{,}6{\rm{ km/h}}$ sao cho khoảng thời gian người đó thuộc vùng phủ sóng đúng bằng $60{\rm{ gi\^a y}}$ . Khi đó $b = \frac{3}{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một trường đại học trao hai loại học bổng

A

và

B

cho sinh viên trong trường, một sinh viên có thể được nhận cả hai loại học bổng

A

và

B

. Trong số các sinh viên được trao học bổng loại

A

có

12\%

số bạn được trao học bổng loại

B

và trong số các sinh viên không được trao học bổng loại

A

có

10\%

số bạn được trao học bổng loại

B

. Có

10{,}2\%

số sinh viên toàn trường được trao học bổng loại

B

. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong trường.

Ý a: Xác suất để sinh viên đó không được trao học bổng loại $B$ là $0{,}898$ .
Ý b: Xác suất để sinh viên đó không được trao học bổng loại $B$ , biết sinh viên đó không được trao học bổng loại $A$ , là $0{,}88$ .
Ý c: Xác suất để sinh viên đó không được trao học bổng loại $A$ là $0{,}89$ .
Ý d: Xác suất để sinh viên đó không được trao học bổng loại $A$ , biết sinh viên đó không được trao học bổng loại $B$ , lớn hơn $0{,}9$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho bảng $6 \times 6$ gồm 36 ô vuông đơn vị và cho $8$ quân cờ đôi một khác nhau. Người ta xếp ngẫu nhiên $8$ quân cờ đó vào 36 ô trong bảng sao cho mỗi ô xếp nhiều nhất một quân cờ. Hai cách xếp được gọi là như nhau nếu vị trí của $8$ quân cờ tương ứng trên bảng là giống nhau sau khi xếp xong (không tính đến thứ tự xếp các quân cờ vào bảng). Chọn ngẫu nhiên một cách xếp như trên. Gọi $P$ là xác suất của biến cố: “Cách xếp được chọn thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:

· Trên mỗi hàng có ít nhất một quân cờ;

· Trên mỗi cột có ít nhất một quân cờ;

· Mỗi quân cờ phải cùng hàng với đúng một quân cờ khác hoặc cùng cột với đúng một quân cờ khác.”

Giá trị của ${9^4}P$ bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép tính cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Công ty vận tải nhận một đơn hàng vận chuyển ít nhất 23 tấn hàng loại

A

, ít nhất 59 tấn hàng loại

B

và không quá 139 tấn hàng loại

C

. Công ty vận tải sử dụng hai loại xe

X

và

Y

để chở số hàng đó. Mỗi xe loại

X

đều chở 12 tấn hàng loại

A

6

tấn hàng loại

B

và 18 tấn hàng loại

C

. Mỗi xe loại

Y

đều chở

2

tấn hàng loại

A

, 20 tấn hàng loại

B

và 22 tấn hàng loại

C

. Chi phí cho

1

xe loại

X

là 37 triệu đồng và cho

1

xe loại

Y

là 45 triệu đồng. Gọi

T

(triệu đồng) là chi phí nhỏ nhất để công ty hoàn thành đơn hàng. Giá trị của 10T bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Người ta cần tính thể tích của một vật thể được chế tác như sau. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ (một đơn vị độ dài trên mỗi trục tương ứng với một xăng – ti – mét trong thực tế), gọi $\left( H \right)$ là hình phẳng được tô đậm, giới hạn bởi đường elip $\frac{{{x^2}}}{{256}} + \frac{{{y^2}}}{{48}} = 1$ và đường tròn tâm $O$ có bán kính 10 (xem hình minh họa bên dưới). Vật thể có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục hoành.

Hình minh hoạ

Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.

Thể tích của vật thể nói trên bằng bao nhiêu xăng – ti – mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả phép tính cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

0,5 điểm

Cho bảng

5 \times 5

gồm 25 ô vuông đơn vị và cho bốn màu. Người ta tô mỗi ô trong bảng bởi một trong bốn màu đã cho sao cho hai ô bất kì có chung đỉnh hoặc chung cạnh thì khác màu. Hai cách tô màu bảng được gọi là giống nhau nếu mỗi ô của bảng có cùng màu ở cả hai cách tô (không tính đến thứ tự tô màu các ô). Gọi

S

là số cách tô màu bảng phân biệt thỏa mãn điều kiện trên. Giá trị của

9S

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

0,5 điểm

Một doanh nghiệp dự kiến sản xuất không quá 2000 sản phẩm cùng loại. Giả sử rằng doanh thu của doanh nghiệp khi sản xuất

x

sản phẩm (

x \in \mathbb{N};0 \le x \le 2000

) là

R\left( x \right) = 16x - 0{,}005{x^2}

(triệu đồng) và doanh nghiệp phải nộp một khoản thuế là

5\%

của doanh thu

R\left( x \right)

. Chi phí để sản xuất mỗi sản phẩm là bốn triệu đồng. Lợi nhuận của doanh nghiệp (khi sản xuất

x

sản phẩm) được tính theo công thức: Lợi nhuận bằng doanh thu trừ đi thuế và chi phí. Doanh nghiệp phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để thu được lợi nhuận lớn nhất?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

0,5 điểm

Cho tứ diện

ABCD

có

AB = CD = 20\sqrt 5

AC = BD = 50

AD = BC = 10\sqrt {13}

. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Làm bài

Đề cùng chủ đề

Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 25) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 THPT Lê Hồng Phong (Thái Nguyên) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Quảng Ninh 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán 2025-2026 Sở GD&ĐT Sơn La - Lần 3 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy
Đề tham khảo Tốt nghiệp THPT Toán 2026-2027 (Đề 46) 22 câu · Ngân hàng đề TopStudy

Tất cả đề Đề tham khảo Tốt nghiệp Toán 2026-2027 · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT