Dạng 4. Mối liên hệ giữa tích phân và thể tích của vật thể

$\sqrt x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1.V = {V_1} + {V_2}.$

V$_{1}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x ,y = 0,x = 1$ quay quanh trục Ox.

V$_{2}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2 - x,y = 0,x = 1$ quay quanh trục Ox.

${\rm{V}} = \pi \int_0^1 {{\rm{xdx}}} + \pi \int_1^2 {{{(2 - {\rm{x}})}^2}} {\rm{dx}}.$ Chọn C.

$V = {V_1} - {V_2}.$

V$_{1}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ${\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}}),{\rm{x}} = {\rm{a}},{\rm{x}} = {\rm{b}}$ quay quanh trục Ox.

V$_{2}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ${\rm{y}} = {\rm{g}}({\rm{x}}),{\rm{x}} = {\rm{a}},{\rm{x}} = {\rm{b}}$ quay quanh trục $O{\rm{x}}.$

${\rm{V}} = \pi \int_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\left( {{{({\rm{f}}({\rm{x}}))}^2} - {{({\rm{g}}({\rm{x}}))}^2}} \right)} {\rm{dx}}.$ Chọn B.

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = {b^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right) \Leftrightarrow y = \pm b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} ,x \in [ - a;a].$

Nhận xét: Elip nhận ${\rm{Ox}},{\rm{Oy}}$ là hai trục đối xứng.

Ta cần tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

$y = b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} ,x = - a,x = a$quay quanh trục Ox.

$V = \pi \int_{ - a}^a {{{\left( {b\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_{ - a}^a {{b^2}} \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)dx = \left. {\pi {b^2}\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{3{a^2}}}} \right)} \right|_{ - a}^a = \frac{{4\pi }}{3}a{b^2}$

Chọn B.