Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\\x \ne 0\end{array} \right.$.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $K$ là $x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0$.

b) Với $x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0$, ta có:

$$K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 3}}{x}$$

$$= \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 3}}{x}$$

$$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}$$

$$= \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}$$

$$= \frac{{4x + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x}$$

$$= \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 3}}{x}.$$

Vậy với $x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0$ thì $K = \frac{{x + 3}}{x}.$

c) Ta có $K = \frac{{x + 3}}{x} = 1 + \frac{3}{x}.$

Để biểu thức $K$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{3}{x} \in \mathbb{Z}$.

Khi đó, $x \in$Ư$\left( 3 \right) = \left\{ { - 1\,;\,\,\,1\,;\,\, - 3\,;\,\,3} \right\}$ và $x \ne 1\,;\,\,x \ne - \,1;\,\,x \ne 0$ nên $x \in \left\{ { - 3\,;\,\,3} \right\}$.

Vậy với $x \in \left\{ { - 3\,;\,\,3} \right\}$ thì biểu thức $K$ nhận giá trị nguyên.

a) Công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí $y$ (triệu đồng) để sản xuất $x$ (xe đạp) trong một ngày là:

$y = 1{,}8x + 36$ (triệu đồng).

b) Do chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng nên $y = 72$ (triệu đồng).

Thay $y = 72$ vào công thức $y = 1{,}8x + 36$ ta có:

$1{,}8x + 36 = 72$

$1{,}8x = 36$

$x = 20$.

Vậy với chi phí là 72 triệu đồng thì trong ngày đó có thể sản xuất được 20 chiếc xe đạp.

Gọi $x$ (mũi tiêm) là số mũi tiêm phòng Covid-19 mà một bàn tiêm dự định tiêm $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.
Năng suất tiêm dự định của bàn tiêm là $\frac{x}{{20}}$.

Năng suất tiêm thực tế của bàn tiêm là $\frac{x}{{20}}\left( {100\% + 20\% } \right) = 0{,}06x$.

Theo đề bài, ta có phương trình: $18 \cdot 0{,}06x - x = 24$

$1{,}08x - x = 24$

$0{,}08x = 24$

$x = 300$ (TMĐK)

Vậy một bàn dự định tiêm 300 mũi.