Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 4

1.1.

a) $\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}$

$$9x = - 6.\left( { - 15} \right)$$

$$9x = 90$$

$$x = 10$$

Vậy $x = 10$,

b) $\frac{{2x + 3}}{{24}} = \frac{{3x - 1}}{{32}}$

$$32.\left( {2x + 3} \right) = 24.\left( {3x - 1} \right)$$

$$64x + 96 = 72x - 24$$

$$72x - 64x = 96 + 24$$

$$8x = 120$$

$$x = 15$$

Vậy $x = 15$.

1.2. Gọi số người của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là $x,y,z$ (công nhân) với $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$.

Đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người nên ta có: $z - y = 20$.

Vì khối lượng công việc như nhau, số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch với nhau nên:

$5x = 6y = 4z$ hay $\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{z - y}}{{15 - 10}} = \frac{{20}}{5} = 4$.

Do đó, $x = 4.12 = 48;{\rm{ }}y = 10.4 = 40;{\rm{ }}z = 15.4 = 60$.

Vậy số người của ba đội lần lượt là 48; 40; 60 người.

2.1. Thay $x = - 1,y = 3$ vào biểu thức $B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}$, ta được:

$B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36$.

Vậy giá trị của biểu thức $B = 36$.

2.2. a) $A\left( x \right) = - \frac{5}{3}{x^2} + \frac{3}{4}{x^4} + 2x - \frac{7}{3}{x^2} - 3 + 4x + \frac{1}{4}{x^4}$

$= \left( {\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} \right){x^4} + \left( { - \frac{5}{3} - \frac{7}{3}} \right){x^2} + \left( {2 + 4} \right)x - 3$

$= {x^4} - 4{x^2} + 6x - 3$.

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có bậc 4 và hệ số cao nhất là 1.

c) $B\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)$

$= {x^4} - 2{x^2} - {x^2} + 2$

$= {x^4} - 3{x^2} + 2$.

Ta có $A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)$

Suy ra $C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)$

$= {x^4} - 3{x^2} + 2 - \left( {{x^4} - 4{x^2} + 6x - 3} \right)$

$= {x^4} - 3{x^2} + 2 - {x^4} + 4{x^2} - 6x + 3$

$= {x^2} - 6x + 5$.

d) Ta có:

• $B\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^4} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Do đó $x = - 1$ là nghiệm của đa thức $B\left( x \right)$.

• $C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12$.

Do đó $x = - 1$ không là nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$M = \left\{ {5;6;7;....;23;24} \right\}$.

Do đó, có 20 kết quả có thể xảy ra.

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $N$ là: $5;7;9;....;21;23.$

Do đó, có $\left( {23 - 5} \right):2 + 1 = 10$ kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố $N$ là $\frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}$.

c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố $P$ là: $6;8;12;16;24$.

Do đó, có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Vậy xác suất của biến cố $P$ là $\frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}.$

a) Xét $\Delta OAE$ và $\Delta OBF$, có:

$\widehat {OAE} = \widehat {OBF} = 90^\circ$

$OA = OB$ (giả thiết)

$\widehat {AOB}$ là góc chung

Do đó, $\Delta OAE = \Delta OBF$ (cgv – gn)

Suy ra $OE = OF$ (hai cạnh tương ứng)

b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho $\Delta EIF$, ta được: $EF < EI + IF$.

Mà $2EM = EF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

Suy ra $2EM < EI + IF.$

Vậy $EM < \frac{{EI + IF}}{2}.$

c) Xét $\Delta EOF$ có hai đường cao $FB$ và $AE$ cắt nhau tại $I$.

Suy ra $I$ là trực tâm của $\Delta OEF.$

Do đó, $OI \bot EF$ (1)

Xét $\Delta OEM$ và $\Delta OFM$, có:

$OM$ là cạnh chung

$ME = MF$ (do $M$ là trung điểm của $EF$)

$OE = OF$ (câu a)

Do đó, $\Delta OEM = \Delta OFM$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat {OME} = \widehat {OMF}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OME} + \widehat {OMF} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Do đó, $\widehat {OME} = \widehat {OMF} = 90^\circ$ hay $OM \bot EF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O,I,M$ thẳng hàng.

Mật mã két sắt nhà Trang là số có ba chữ số và được tạo thành từ các chữ số $1{,}2{,}3$.

Do đó, số các số được lập thành từ ba chữ số $1{,}2{,}3$ là $3.3.3 = 27$.

Mà mật mã két sắt chỉ có một.

Suy ra xác suất để mẹ Trang mở một lần đúng được mật mã là: $\frac{1}{{27}}.$