Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 3

1.1.

a) $\frac{x}{3} = \frac{{ - 10}}{6}$

$6x = - 10.3$

$6x = - 30$

$x = - 30:6$

$x = - 5$

Vậy $x = - 5$.

b) $\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}$

$- 5\left( {2 - x} \right) = 4\left( {x - 3} \right)$

$- 10 + 5x = 4x - 12$

$x = - 12 + 10$

$x = - 2$

Vậy $x = - 2$.

1.2. Gọi số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là $x,y,z$ (người) với $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}.$

Vì cả ba đội y tế có tất cả 37 cán bộ y tế nên $x + y + z = 37$.

Ta có: $x$ tiêm xong trong 5 ngày, $y$ tiêm xong trong 4 ngày, $z$ tiêm xong trong 6 ngày.

Vì số cán bộ y tế và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: $5x = 4y = 6z$ hay $\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 15 + 10}} = \frac{{37}}{{37}} = 1$.

Do đó, ta có: $\frac{x}{{12}} = 1$ nên $x = 12,$ $\frac{y}{{15}} = 1$ nên $y = 15$; $\frac{z}{{10}} = 1$ nên $z = 10$.

Vậy số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 12, 15, 10 người.

2.1. Thay $x = - 1;y = 1;z = - 1$ vào biểu thức $H = xy - xz + yz$, ta được:

$H = \left( { - 1} \right).1 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 1} \right) = - 1 - 1 - 1 = - 3$.

Vậy giá trị của biểu thức $H = - 3$.

2.2. a) $A\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^3} + \frac{{11}}{3}{x^2} - 6x - \frac{2}{3}{x^2} + \frac{7}{4}{x^3} + 2x + 3$

$= \left( {\frac{1}{4} + \frac{7}{4}} \right){x^3} + \left( {\frac{{11}}{3} - \frac{2}{3}} \right){x^2} + \left( { - 6 + 2} \right)x + 3$

$= 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3$.

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có bậc là 3 và hệ số cao nhất là $2$.

c) Ta có $A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3 = 8$.

Theo bài, ${2^n} = A\left( { - 1} \right)$ nên ${2^n} = 8 = {2^3}$

Suy ra $n = 3$.

Vậy $n = 3$.

d) $B\left( x \right) = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right)$

$= 2{x^3} + 3{x^2} - 2{x^2} - 3x + 2x + 3$

$= 2{x^3} + {x^2} - x + 3$

Ta có $C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$

$= 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3 - \left( {2{x^3} + {x^2} - x + 3} \right)$

$= 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3 - 2{x^3} - {x^2} + x - 3$

$= 2{x^2} - 3x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$, ta cho $C\left( x \right) = 0$

Do đó $2{x^2} - 3x = 0$ hay $x\left( {2x - 3} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;\frac{3}{2}} \right\}$.

a) Tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$A = \left\{ {12;13;14;15;16;17} \right\}$.

Do đó, có 6 kết quả có thể xảy ra.

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là $12$. Do đó có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố $B$ là $\frac{1}{6}$.

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố $C$ là $14;17$. Do đó, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố này.

Xác suất của biến cố $C$ là $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

a)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ$;

$AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$);

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta ADB = \Delta AEC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AD = AE$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AB = AC$ (chứng minh trên)

Nên $AB - AE = AC - AD$ hay $BE = CD$.

b) Do $\Delta ADB = \Delta AEC$ (câu a) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (hai góc tương ứng)

Xét $\Delta BHE$ và $\Delta CHD$ có:

$\widehat {BEH} = \widehat {CDH} = 90^\circ$;

$BE = CD$ (chứng minh câu a);

$\widehat {EBH} = \widehat {DCH}$(chứng minh trên).

Do đó $\Delta BHE = \Delta CHD$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $HB = HC$ (hai cạnh tương ứng)

Tam giác $HBC$ có $HB = HC$ nên là tam giác cân tại $H$.

Xét $\Delta HDC$ vuông tại $D$ có $HC$ là cạnh huyền nên là cạnh có độ dài lớn nhất.

Do đó $HC > HD$.

Mà $HB = HC$ (chứng minh trên) nên $HB > HD.$

c) Gọi $P$ là giao điểm của $HI$ và $BC$.

$\Delta HBC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $I$.

Do đó $I$ là trọng tâm của $\Delta HBC$ nên $HP$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $H$ của tam giác.

Mà $\Delta HBC$ cân tại $H$ nên đường trung tuyến $HP$ đồng thời là đường cao của tam giác.

Suy ra $HP \bot BC$ hay $HI \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Delta ABC$ có $H$ là giao điểm của hai đường cao $BD$ và $CE$ nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$.

Do đó $AH \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra ba điểm $A,H,I$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $P$.

Hay ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.

Nhận thấy, số có tổng các chữ số bằng 9 là các số chia hết cho 9.

Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố này là: $9;18;27;36;45;54;63;72;81;90$.

Suy ra có 10 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố “Số ghi trên vé của Nam là số có tổng các chữ số chia hết cho $9$” là: $\frac{{10}}{{100}} = \frac{1}{{10}}$.