Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có $\sqrt x + 3 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}$.

Ta có $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

b) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}$.

Vậy $A = \frac{6}{7}$ khi $x = 16$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$.

Hướng dẫn giải

d) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$P=\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}=\frac{\sqrt{x}+3-4}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{4}{\sqrt{x}+3}$

Ta lại có: $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}$.

$\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1$.

Như vậy, $- \frac{1}{3} \le P < 1$.

Mà $P$ nhận giá trị nguyên nên $P = 0.$

Với $P = 0,$ ta có: $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,$ do đó $\sqrt x + 3 = 4$ nên $\sqrt x = 1,$ hay $x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị $x$ để biểu thức $P = \frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định: $x \ne 1;x \ne 3$.

Ta có: $\frac{{x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{x + 3}}{{x - 1}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$$\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$

$$\frac{{{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 9} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{8x - 5}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$

$${x^2} - 1 - {x^2} + 9 = 8x - 5$$

$$8 + 5 = 8x$$

$$8x = 13$$

$x = \frac{{13}}{8}$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \frac{{13}}{8}$.