Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) – Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 1 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

– Xét biểu thức $B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$.

Với $x \ge 0$, ta có:

⦁ $x + \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)$; $x - \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right);$ $x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right).$

⦁ $x \ge 0$ nên $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 1 > 0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0$ hay $x > 0,\,\,x \ne 1.$

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ là $x \ge 0,x \ne 1$ và điều kiện xác định của biểu thức $B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$ là $x > 0,x \ne 1.$

b) Thay $x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \left( {\frac{1}{9} + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{10}}{9}}}{{2\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{27}}}}{{ - \frac{4}{3}}} = - \frac{5}{{18}}.$

Vậy $A = - \frac{5}{{18}}$ khi $x = \frac{1}{9}$.

c) Với $x > 0,x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$

$= \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$= \frac{{\sqrt x - 1 + 2x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$= \frac{{2x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}}$$= \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,x \ne 1$ thì $B = \frac{2}{{\sqrt x }}$.

d) Với $x > 1,$ ta có:

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}(x+1)}{2(\sqrt{x}-1)}.\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+2}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

Xét $P = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2$ với $x > 1.$

Do $x > 1$ nên $\sqrt x - 1 > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x - 1}}}$

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 2$

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2$

Suy ra $P \ge 2\sqrt 2 + 2$ với $x > 1$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$ .

Giải phương trình:

$\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$

${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 2$

$\sqrt x - 1 = \sqrt 2$ (do $\sqrt x - 1 > 0)$

$\sqrt x = \sqrt 2 + 1$

$x = 3 + 2\sqrt 2$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = 2\sqrt 2 + 2$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2$.

a) Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $x \ne - 1$.

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}$

$\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

${\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8$

$\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) = 8$

$2x.\left( { - 2} \right) = 8$

$- 4x = 8$

$x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2$.