Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

a) – Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 4 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

– Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$.

Với $x \ge 0$, ta có:

⦁ $16 - x = \left( {4 + \sqrt x } \right)\left( {4 - \sqrt x } \right) = - \left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)$.

⦁ $x \ge 0$ nên $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 4 > 0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x - 4 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ và biểu thức $B$ đều là $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4 - 2\sqrt 3 .$

Vì $x = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1$ nên $x = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}$ và $\sqrt x = \sqrt 3 - 1$.

Thay vào $A$ ta được $A = \frac{{\sqrt 3 - 1 + 2}}{{\sqrt 3 - 1 - 4}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 5}}$$= \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}}{{ - 2}}$$= - 4 - 3\sqrt 3$.

Vậy khi $x = 4 - 2\sqrt 3$ thì $A = - 4 - 3\sqrt 3$.

c) Với $x \ge 0\,,\,\,x \ne 16\,,$ ta có:

$$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{x - 6\sqrt x + 8 + 10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$= \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}$.

d) Ta có $\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}$ $= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$.

Phương trình $\frac{A}{B} = m$ trở thành $\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = m$ hay $\sqrt x + 2 = m\sqrt x$.

Suy ra $\left( {m - 1} \right)\sqrt x = 2$.

Để phương trình có nghiệm ta cần có $m - 1 > 0$ hay $m > 1$, đồng thời $\frac{2}{{m - 1}} \ne 16$ hay $m \ne \frac{9}{8}$.

Vậy, với $m > 1$ và $m \ne \frac{9}{8}$ thì phương trình $\frac{A}{B} = m$ có nghiệm.

a) $\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{{x^2} - 9}}$

$$\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$

$$x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = - 2x - 6$$

$${x^2} - 5x - 6 = - 2x - 6$$

$${x^2} - 3x = 0$$

$x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$

$x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 3$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 0.$