Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) – Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 1 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

– Xét biểu thức $B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$.

Với $x \ge 0$, ta có:

⦁ $x + \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)$; $x - \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right);$ $x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right).$

⦁ $x \ge 0$ nên $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 1 > 0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0$ hay $x > 0,\,\,x \ne 1.$

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ là $x \ge 0,x \ne 1$ và điều kiện xác định của biểu thức $B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$ là $x > 0,x \ne 1.$

b) Thay $x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \left( {\frac{1}{9} + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{10}}{9}}}{{2\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{27}}}}{{ - \frac{4}{3}}} = - \frac{5}{{18}}.$

Vậy $A = - \frac{5}{{18}}$ khi $x = \frac{1}{9}$.

c) Với $x > 0,x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$

$= \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$= \frac{{\sqrt x - 1 + 2x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$= \frac{{2x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}}$$= \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,x \ne 1$ thì $B = \frac{2}{{\sqrt x }}$.

d) Với $x > 1,$ ta có:

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}(x+1)}{2(\sqrt{x}-1)}.\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1+2}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

Xét $P = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2$ với $x > 1.$

Do $x > 1$ nên $\sqrt x - 1 > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x - 1}}}$

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 2$

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2$

Suy ra $P \ge 2\sqrt 2 + 2$ với $x > 1$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$ .

Giải phương trình:

$\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$

${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 2$

$\sqrt x - 1 = \sqrt 2$ (do $\sqrt x - 1 > 0)$

$\sqrt x = \sqrt 2 + 1$

$x = 3 + 2\sqrt 2$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = 2\sqrt 2 + 2$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2$.

a) Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $x \ne - 1$.

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}$

$\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

${\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8$

$\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) = 8$

$2x.\left( { - 2} \right) = 8$

$- 4x = 8$

$x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2$.

b) $0{,}5x + 7\left( {x - 2} \right) \le \frac{1}{2}x - 1$

$0{,}5x + 7x - 14 \le 0{,}5x - 1$

$0{,}5x + 7x - 0{,}5x \le 14 - 1$

$7x \le 13$

$x \le \frac{{13}}{7}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le \frac{{13}}{7}$.

c) $\sqrt {18x + 9} - \sqrt {8x + 4} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4$ (ĐKXĐ: $x \ge - \frac{1}{2})$

$\sqrt {9\left( {2x + 1} \right)} - \sqrt {4\left( {2x + 1} \right)} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4$

$3\sqrt {2x + 1} - 2\sqrt {2x + 1} + \frac{1}{3}\sqrt {2x + 1} = 4$

$\frac{4}{3}\sqrt {2x + 1} = 4$

$\sqrt {2x + 1} = 3$

$2x + 1 = 9$

$2x = 8$

$x = 4$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 4$.

2. Gọi $x,y$ (người) lần lượt là số công nhân nam và nữ của tổ may đó $\left( {x,y \in \mathbb{N}*\,;\,\,x,y < 47} \right)$.

Vì tổ may gồm 47 công nhân nên $x + y = 47$. (1)

Vì mỗi công nhân nam may 8 chiếc áo, mỗi công nhân nữ may 7 chiếc áo, may được tổng cộng 350 chiếc áo nên ta có phương trình $8x + 7y = 350$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 47\\8x + 7y = 350\end{array} \right.$.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 7, ta được hệ phương trình mới là: $\left\{ \begin{array}{l}7x + 7y = 329\\8x + 7y = 350.\end{array} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên nên $x = 21$ (thỏa mãn).

Thay $x = 21$ vào phương trình (1), ta được: $21 + y = 47$ nên $y = 26$ (thỏa mãn).

Vậy tổ có 26 công nhân nam và 21 công nhân nữ.

3. a) Gọi $x$ là số chiếc áo sơ mi trung bình mỗi tháng doanh nghiệp bán được $\left( {x \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$.

Lợi nhuận của doanh nghiệp sau 12 tháng là:

$12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right)$ (đồng).

Để doanh nghiệp thu được ít nhất 1,38 tỉ đồng thì:

$$12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000$$

Vậy bất phương trình cần tìm là $12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000$.

b) Giải bất phương trình

$$12 \cdot \left( {350\,\,000x - 410\,\,000\,\,000} \right) \ge 1\,\,380\,\,000\,\,000$$

$$7x - 8\,\,200 \ge 2\,\,300$$

$$7x \ge 10\,\,500$$

$x \ge 1\,\,500$.

Mà $0 \le x \le 25\,,\,\,x \in \mathbb{N}*$ nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất thì mới được dự thi tiếp vòng sau.

b) Theo đề bài, phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$ hay $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$.

Theo câu a, ta có: $\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}$, suy ra $\alpha = \widehat {ABC} \approx 41^\circ 49'.$

Mà $\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}$ nên $AC = BC \cdot \tan \widehat {ABC} \approx 5 \cdot \tan 41^\circ 49' \approx 4{,}47{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{2}$, suy ra $AB = \frac{3}{2}AC \approx \frac{3}{2} \cdot 4{,}47 = 6{,}705{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Độ dài cây ban đầu là tổng của phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$.

Vậy chiều cao ban đầu của cây khoảng: $4{,}47 + 6{,}705 = 11{,}175 \approx 11{,}18{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

a) ⦁ Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $AB,AC$ là hai tiếp cắt nhau tại $A$ nên $AB = AC$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $A$ thuộc đường trung trực $BC$.

Mặt khác, $OB = OC = R$ nên $O$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Suy ra $OA$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$, do đó $OA \bot BC$ tại $H$.

⦁ Vì $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $B$ nên $AB \bot OB$ tại $B.$

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta BAO$ có: $\widehat {AHB} = \widehat {ABO} = 90^\circ$ và $\widehat {OAB}$ là góc chung.

Do đó $ΔHAB∽ΔBAO$ (g.g)

Suy ra $\frac{{HA}}{{BA}} = \frac{{AB}}{{AO}}$ hay $AH \cdot AO = A{B^2}$ (1).

Xét $\Delta OAB$ vuông tại $B,$ ta có: $A{B^2} = A{O^2} - O{B^2} = A{O^2} - {R^2}$ (định lí Pythagore). (2)

Lại có:

$$AM \cdot AN = \left( {AO - OM} \right)\left( {AO + ON} \right)$$

$$= A{O^2} + AO \cdot ON - OM \cdot AO - OM \cdot ON$$

$= A{O^2} - OM \cdot ON$$= A{O^2} - {R^2}$ (vì $OM = ON = R)$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $AM \cdot AN = AH \cdot AO = A{O^2} - {R^2}.$

b) ⦁ Ta có: $CE\,{\rm{//}}\,AB$ (cùng vuông góc với $BD$)

Suy ra $\frac{{EK}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{DB}}$ (hệ quả định lí Thalès).

Do đó $EK.BD = DE.AB$(∗).

⦁ Xét $\Delta BCD$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BD$ và $CO = BO = DO = R = \frac{{BD}}{2}$ (do $BD$ là đường kính) nên $\Delta BCD$ vuông tại $C.$

Ta có $BC \bot CD,\,\,BC \bot OA$ nên $CD\,{\rm{//}}\,OA$, do đó $\widehat {AOB} = \widehat {CDE}$ (đồng vị)

Xét $\Delta ABO$ và $\Delta CED$ có: $\widehat {ABO} = \widehat {CED} = 90^\circ$ và $\widehat {AOB} = \widehat {CDE}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AB}}{{CE}} = \frac{{BO}}{{ED}}$ hay $CE.BO = DE.AB$(∗∗).

Từ (∗) và (∗∗) suy ra $EK.BD = CE.BO$.

Mà $BD = 2BO$, suy ra $EK \cdot 2BO = CE.BO$, suy ra $2EK = CE$.

Do đó $K$ là trung điểm của $CE.$

c) Xét $\Delta AOB$ vuông tại $B,$ có: $\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {AOB} = 60^\circ .$

Do $AB,AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OA$ là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .$

Do đó, số đo cung nhỏ $BC$ bằng $120^\circ$.

Suy ra, số đo cung lớn $BC$ là $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ .$

Diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,OC$ và cung lớn $BC$ là

$S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 240}}{{360}} = \frac{{2\pi {R^2}}}{3}$ (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi các bán kính $OB,\,\,OC$ và cung lớn $BC$ là $\frac{{2\pi {R^2}}}{3}$ (đvdt).

Đặt $AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Ta có tứ giác $ADME$ có $\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AED} = 90^\circ$ nên $ADME$ là hình chữ nhật. Do đó, $AD = EM = x.$

Chứng minh được (g.g), từ đó ta có:

$\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}$ hay $\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}$ suy ra $CE = \frac{4}{3}x$.

Ta có $AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x$.

Diện tích hình chữ nhật $ADME$ là:

${S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)$.

Ta có: $x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)$

$$= - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12$$

$= - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12$.

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 3 = 0$ khi $x = 3.$

Khi đó $D$ là trung điểm của $AB$.

Suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Vậy diện tích lớn nhất của $ADME$ bằng ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ khi $M$ là trung điểm của $BC$.

Diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.