Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

a) – Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 4 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

– Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$.

Với $x \ge 0$, ta có:

⦁ $16 - x = \left( {4 + \sqrt x } \right)\left( {4 - \sqrt x } \right) = - \left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)$.

⦁ $x \ge 0$ nên $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 4 > 0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x - 4 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ và biểu thức $B$ đều là $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4 - 2\sqrt 3 .$

Vì $x = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1$ nên $x = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}$ và $\sqrt x = \sqrt 3 - 1$.

Thay vào $A$ ta được $A = \frac{{\sqrt 3 - 1 + 2}}{{\sqrt 3 - 1 - 4}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 5}}$$= \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}}{{ - 2}}$$= - 4 - 3\sqrt 3$.

Vậy khi $x = 4 - 2\sqrt 3$ thì $A = - 4 - 3\sqrt 3$.

c) Với $x \ge 0\,,\,\,x \ne 16\,,$ ta có:

$$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{x - 6\sqrt x + 8 + 10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$= \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}$.

d) Ta có $\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}$ $= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$.

Phương trình $\frac{A}{B} = m$ trở thành $\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = m$ hay $\sqrt x + 2 = m\sqrt x$.

Suy ra $\left( {m - 1} \right)\sqrt x = 2$.

Để phương trình có nghiệm ta cần có $m - 1 > 0$ hay $m > 1$, đồng thời $\frac{2}{{m - 1}} \ne 16$ hay $m \ne \frac{9}{8}$.

Vậy, với $m > 1$ và $m \ne \frac{9}{8}$ thì phương trình $\frac{A}{B} = m$ có nghiệm.

a) $\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{{x^2} - 9}}$

$$\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 2x - 6}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$

$$x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = - 2x - 6$$

$${x^2} - 5x - 6 = - 2x - 6$$

$${x^2} - 3x = 0$$

$x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$

$x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 3$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 0.$

b) ${(x+2)}^{2}<x+{x}^{2}-3$

${x}^{2}+4x+4<x+{x}^{2}-3$

$$\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3$$

$$3x < - 7$$

$x < - \frac{7}{3}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - \frac{7}{3}.$

c) $\sqrt {9x - 9} - \sqrt {4x - 4} + \sqrt {x - 1} = 16$ (ĐKXĐ: $x \ge 1)$

$\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} + \sqrt {x - 1} = 16$

$3\sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} = 16$

$2\sqrt {x - 1} = 16$

$\sqrt {x - 1} = 8$

$x - 1 = 16$

$x = 17$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 17.$

2. Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh nữ làm 3 tấm thiệp

$y$ (học sinh) là số học sinh nữ làm 5 tấm thiệp $\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)$

⦁ Giả sử Bình là nam

Số nam tham gia nghiệm vụ là 34 học sinh; số nữ tham gia nhiệm vụ là 12 học sinh.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\\3x + 5y = 34\end{array} \right.$ (I)

Giải hệ phương trình (I) ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = - 1\end{array} \right.$ (loại)

Có thể kết luận bằng phương pháp loại suy.

⦁ Giả sử Bình là nữ

Số nam tham gia nghiệm vụ là 35 học sinh, số nữ tham gia nhiệm vụ là 11 học sinh.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 11\\3x + 5y = 35\end{array} \right.$ (II)

Giải hệ phương trình (II) ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 1\end{array} \right.$ (TM)

Vậy Bình là nữ và có 1 học sinh nữ làm 5 tấm thiệp.

3. a) Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $\left( {0 \le x \le 25\,,\,\,x \in \mathbb{N}*} \right).$

Số câu trả lời sau là $25 - x$ (câu).

Trả lời đúng $x$ câu hỏi được cộng $2x$ (điểm)

Trả lời sai $25 - x$ câu hỏi bị trừ $25 - x$ (điểm)

$3x - 25 \ge 25$Vì vậy, sau khi trả lời 25 câu thì người dự thi sẽ có số điểm là:

$2x - \left( {25 - x} \right) = 2x - 25 + x = 3x - 25$ (điểm).

Theo bài, để được dự thi tiếp vòng sau thì có số điểm từ 25 trở lên, nên ta có bất phương trình

$3x - 25 \ge 25$.

Vậy bất phương trình cần tìm là $3x - 25 \ge 25$.

b) Giải bất phương trình $3x - 25 \ge 25$, ta được:

$3x \ge 50$

$x \ge \frac{{50}}{3}\,\,\,( \approx 16{,}7)$.

Mà $0 \le x \le 25\,,\,\,x \in \mathbb{N}*$ nên người ứng tuyển cần phải trả lời chính xác ít nhất thì mới được dự thi tiếp vòng sau.

a) Xét tam giác $DAH$ vuông tại $H$, ta có:

$\sin \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{AD}},\,\,\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{AH}}.$

Hướng dẫn giải

b) Đặt $DH = x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$, $x > 0$.

Xét $\Delta DHA$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat {DAH} = \frac{{DH}}{{HA}}$ nên $HA = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}}$.

Xét $\Delta DHB$ vuông tại $H$ có: $\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{HB}}$ nên $HB = \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}}.$

Ta có: $HB - HA = AB$ suy ra $\frac{{DH}}{{\tan \widehat {DBH}}} - \frac{{DH}}{{\tan \widehat {DAH}}} = 56$

$$x\left( {\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}} \right) = 56$$

$x = \frac{{56}}{{\frac{1}{{\tan 11^\circ }} - \frac{1}{{\tan 15^\circ }}}} \approx 39{,}65$.

Khi đó $CD = CH + DH \approx 1{,}5 + 39{,}65 \approx 41{,}15\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy chiều cao cột cờ Hà Nội khoảng $41{,}15$ m.

a) Xét đường tròn $\left( O \right)$ có: $AB,AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B,C$ nên $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) .

Suy ra $A$ thuộc đường trung trực của $BC$.

Mà $OB = OC = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $BC$

Do đó $OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $OA \bot BC$ tại $H$.

b) Xét $\Delta OBE$ cân tại $O$ (do $OB = OE = R)$ nên

$\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BOE}.$

Xét $\Delta OED$ cân tại $O$ (do $OD = OE = R)$ nên $2\widehat {ODE} = 180^\circ - \widehat {EOD} = \widehat {BOE}$.

Suy ra $2\widehat {ODE} = \widehat {BOE}$ hay $\widehat {ODE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}$. Do đó, $\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}.$

Suy ra $\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {BDA}.$

Mà $\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {ABE}$ nên $\widehat {ABE} = \widehat {ADB}$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADB$ có: $\widehat {BAD}$ chung, $\widehat {ABE} = \widehat {ADB}$.

Do đó (g.g)

Suy ra $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}}$ nên $A{B^2} = AE \cdot AD$.

c) Xét $\Delta AOB$ vuông tại $B,$ có:

$\cos \widehat {AOB} = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{R}{{\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)R}} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4},$ suy ra $\widehat {AOB} = 75^\circ .$

Do $AB,AC$ lần lượt là tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OA$ là tia tiếp tuyến của $\widehat {BOC}$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ .$

Do đó $\widehat {COD} = 180^\circ - \widehat {BOC} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,\,\,OD$ và cung nhỏ $CD$ là:

$S = \frac{{\pi {R^2} \cdot 30}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{{12}}$ (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,\,\,OD$ và cung nhỏ $CD$ là $\frac{{\pi {R^2}}}{{12}}$ (đvdt).

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt $CJ = x\,\,\left( {x > 0} \right).$

Vì $AJ\,\,{\rm{//}}\,\,KB$ (cùng vuông góc với $CI$) nên hai tam giác $AJC$ và $BKA$ là hai tam giác đồng dạng nên $\frac{{JC}}{{KA}} = \frac{{JA}}{{KB}}$ nên $\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}$, suy ra $KB = \frac{{60}}{x}$

Diện tích khu nuôi cá là:

$S\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right)\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

$$S\left( x \right) = \frac{{150}}{x} + 6x + 60 \ge 2\sqrt {\frac{{150}}{x} \cdot 6x} + 60 = 2\sqrt {900} + 60 = 120.$$

Dấu xảy ra khi $\frac{{150}}{x} = 6x$ nên ${x^2} = 25$, suy ra $x = 5\,\,{\rm{m}}$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng là $120\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}$