Toán · Lớp 12

Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 6

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = {x^3}$ . Phát biểu nào sau đây đúng?

Đáp án A: $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C$ .
Đáp án B: $f\left( x \right) = 3{x^2}$ .
Đáp án C: $f\left( x \right) = 4{x^3}$ .
Đáp án D: $f\left( x \right) = 3{x^4}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {{x^3}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4} + C$ .

Câu 2

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, không âm trên đoạn $\left[ {a\,;\,b} \right]$ như hình. Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ ; $x = b$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng

Hình minh hoạ

Đáp án A: $V = \pi \int\limits_b^a {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án B: $V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $V = \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Ta có : $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx.$

Câu 3

1 điểm

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

f(x) = {15^x}

Đáp án A: ${F_1}(x) = {15^x}$ .
Đáp án B: ${F_2}(x) = {15^x}\ln 15$ .
Đáp án C: ${F_3}(x) = \frac{{{{15}^x}}}{{\log 15}}$ .
Đáp án D: ${F_4}(x) = \frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Vì: ${\left( {\frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\ln 15}}{.15^x}.\ln 15 = {15^x}$ .

Câu 4

1 điểm

Cho hàm số

y = f\left( x \right)

liên tục trên

\mathbb{R}

thỏa mãn . Giá trị của biểu thức

\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}

bằng

Đáp án A: 7.
Đáp án B: 1.
Đáp án C: 12.
Đáp án D: 0,75.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4 - 3 = 1$ .

Câu 5

1 điểm

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình. Gọi $S$ là phần diện tích hình phẳng được tô màu. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $S = \int\limits_{ - 1}^{ - 0{,}5} {f\left( x \right)dx}$ .
Đáp án B: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}$ .
Đáp án C: $S = - \left| {\int\limits_1^{ - 0{,}5} {f\left( x \right)dx} } \right|$ .
Đáp án D: $S = - \int\limits_{ - 1}^{0{,}5} {f\left( x \right)dx}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^{0{,}5} {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^{0{,}5} {f\left( x \right)dx}$ .

Câu 6

1 điểm

Vi khuẩn E.coli sống chủ yếu ở đường ruột và có số lượng lớn nhất trong hệ vi sinh vật của cơ thể . Một quần thể vi khuẩn E. coli được quan sát trong điều kiện thích hợp, có tốc độ sinh trưởng được cho bởi hàm số

f\left( t \right) = {480.2^t}\ln 2.

Trong đó

t

tính bằng giờ

\left( {t > 0} \right)

f\left( t \right)

tính bằng cá thể/giờ (Nguồn: R Larson and B.Edwards,Calculus 10e, Cengage). Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể. Hàm số biểu thị số lượng cá thể theo thời gian

t

là:

Đáp án A: $F\left( t \right) = {480.2^t} + \ln 2$ .
Đáp án B: $F\left( t \right) = {480.2^t}$ .
Đáp án C: $F\left( t \right) = 480.\frac{{{2^t}}}{{\ln 2}}$ .
Đáp án D: $F\left( t \right) = 480.\frac{{{2^t}}}{{\ln 2}} + C$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, mặt phẳng đi qua điểm

K(1;1;1)

nhận

\vec u = (1;0;1)

\vec v = (1;1;0)

là căp vectơ chỉ phương có phương trình tổng quát là:

Đáp án A: $x + y + z - 3 = 0$ .
Đáp án B: $x - y + z - 1 = 0$ .
Đáp án C: $x + y - z - 1 = 0$ .
Đáp án D: $- x + y + z - 1 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng

\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}

Đáp án A: $\overrightarrow {{u_1}} = (8;6;3)$ .
Đáp án B: ${\vec u_2} = (8;6; - 3)$ .
Đáp án C: ${\vec u_3} = ( - 8;6; - 3)$ .
Đáp án D: ${\vec u_4} = (5;9;12)$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, mặt cầu tâm

I\left( { - 6; - 9;15} \right)

và đường kính bằng 10 có phương trình là:

Đáp án A: ${\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 100$ .
Đáp án B: ${\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25$ .
Đáp án C: ${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 100$ .
Đáp án D: ${\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} + {\left( {z + 15} \right)^2} = 25$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, mặt phẳng cắt ba trục toa độ tại ba điểm

D(3;0;0)

E(0; - 2;0),G(0;0; - 7)

có phương trình chính tắc là:

Đáp án A: $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} + 1 = 0$ .
Đáp án B: $\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1$ .
Đáp án C: $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1$ .
Đáp án D: $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} + \frac{z}{7} = 1$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho hai biến cố

A

và

B

. Xác suất của biến cố

A

với điều kiện biến cố

B

đã xảy ra được gọi là xác suất của

A

với điều kiện

B

, ký hiệu là

P(A|B)

. Phát biểu nào sau đây đúng?

Đáp án A: Nếu $P\left( A \right) > 0$ thì $P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}$ .
Đáp án B: Nếu $P\left( B \right) > 0$ thì $P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ .
Đáp án C: Nếu $P\left( {A \cap B} \right) > 0$ thì $P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( {A \cap B} \right)}}$ .
Đáp án D: Nếu $P\left( {A \cap B} \right) > 0$ thì $P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( B \right)}}{{P\left( {A \cap B} \right)}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Cho sơ đồ hình cây như hình. Xác suất của biến cố $B$ là

Hình minh hoạ

Đáp án A: $0{,}42$ .
Đáp án B: $0{,}62$ .
Đáp án C: $0{,}28$ .
Đáp án D: $0{,}48$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin x + x$ .

Ý a: $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ .
Ý b: Giá trị tích phân $\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \left( {a < b} \right)$ luôn dương.
Ý c: Với $t = 2x$ thì $\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\sin 2x + 2x} \right)dx}$ .
Ý d: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và các đường thẳng $x = \frac{\pi }{3},x = 2\pi$ có dạng $\frac{a}{b}{\pi ^2} - \frac{1}{2}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó $a + b = 35$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

M\left( {2;1;0} \right)

và đường thẳng

d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}

Ý a: Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)$ .
Ý b: Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với $d$ có phương trình tổng quát là $2x + by + cz + d = 0$ . Khi đó $b + c + d = - 5$ .
Ý c: Gọi $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d$ . Khi đó $M'\left( {1;0; - 2} \right)$ .
Ý d: Phương trình đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{a} = \frac{z}{b}$ đi qua $M$ cắt và vuông góc với đường thẳng $d$ . Khi đó $a + b = - 6$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Trong không gian

Oxyz

, cho điểm

I\left( {1; - 2;3} \right)

và điểm

M\left( { - 1;0;2} \right)

Ý a: Mặt cầu tâm $I$ đi qua điểm $M$ có bán kính là $R = IM = \sqrt 3$ .
Ý b: Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $M$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$ .
Ý c: Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $M$ là $- 2x + 2y - z = 0$ .
Ý d: Phương trình mặt cầu tâm $I$ , cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho độ dài đoạn $AB = 2\sqrt 3$ là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Xác suất để một chuyến bay khởi hành đúng giờ là

P\left( D \right) = 0{,}83

; xác suất để nó đến đúng giờ là

P\left( A \right) = 0{,}82

; xác suất để nó khởi hành và đến đều đúng giờ là

P\left( {D \cap A} \right) = 0{,}78

Ý a: Xác suất để một máy bay đến đúng giờ biết rằng nó đã khởi hành đúng giờ là 0,94.
Ý b: Xác suất để một máy bay khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến đúng giờ là 0,85.
Ý c: Xác suất để một máy bay đến đúng giờ biết rằng nó khởi hành không đúng giờ là 0,24.
Ý d: Xác suất để một máy bay khởi hành đúng giờ biết rằng nó sẽ đến không đúng giờ là 0,95.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

1 điểm

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.

Cho đồ thị hàm số $y = \cos x$ và hình phẳng được tô màu như hình bên dưới. Tính diện tích hình phẳng đó (làm tròn đến hàng đơn vị).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Cho

\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 3}}} = a\ln 2 + b\ln 5

với

a,b \in \mathbb{Z}

. Giá trị của

a + b

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ như hình bên dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Khi gắn hệ tọa độ

Oxyz

(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng

\left( {Oxy} \right)

trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí

A\left( {3;\, - 2;\,3} \right)

đến vị trí

B\left( {8;\,8;\,0} \right)

. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng

AB

và sân bay (một phần của mặt phẳng

\left( {Oxy} \right)

) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (kết quả là tròn đến một chữ số thập phân).

Hình minh hoạ