Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {\sin x{\rm{d}}x = - \cos x + C}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int\limits_1^2 {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = 2}$$\Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} } = 2$

$\Leftrightarrow - 1 + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 3$.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy: ${\left( {{x^4} + {x^3} + 5x} \right)^\prime } = 4x{}^3 + 3{x^2} + 5 = f\left( x \right)$

Do đó hàm số $F\left( x \right) = x{}^4 + {x^3} + 5x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} + 3{x^2} + 5$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: $F\left( x \right) = x{}^4 + {x^3} + 5x + C.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)} dx = - 2\cot x + x + C = f(x)$.

$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 4 - \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( x \right) = - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}$.

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left( { - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}} \right){\rm{d}}x} = = \left. {\left[ { - 2\ln \left( {\sin x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} + 4x - \frac{\pi }{2}x} \right]} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 2\pi$.

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {{{\cos }^2}x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx}$$= \left. {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}$.