Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int {{x^3}} {\rm{d}}x = \frac{{{x^4}}}{4} + C$.

Đáp án đúng là: D

Ta có : $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx.$

Đáp án đúng là: D

Vì: ${\left( {\frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\ln 15}}{.15^x}.\ln 15 = {15^x}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

$\Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4 - 3 = 1$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^{0{,}5} {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^{0{,}5} {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

Do $\int {f\left( t \right)dt} = \int {{{480.2}^t}\ln 2{\rm{ }}dt} = 480.\ln 2.\frac{{{2^t}}}{{\ln 2}} + C = {480.2^t} + C = F(t)$.

Biết tại thời điểm bắt đầu quan sát, số lượng cá thể được ước tính một cách chính xác khoảng 480 cá thể nên

$F(0) = {480.2^0} + C = 480 \Rightarrow C = 0$. Suy ra $F\left( t \right) = {480.2^t}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1\;;\;1\;;\;1} \right)$là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm nên chỉ có phương án D thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 5}}{8} = \frac{{y - 9}}{6} = \frac{{z - 12}}{3}$ có một VTCP là $\overrightarrow u = \left( {8;\;6\;;\;3} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Do mặt cầu có đường kính bằng 10 nên bán kính bằng 5.

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( { - 6; - 9;15} \right)$ và đường kính bằng 10 có phương trình là:${\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 25$ .

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt chắn là: $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} - \frac{z}{7} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Công thức tính xác suất của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra$\left( {P\left( B \right) > 0} \right)$ là: $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$.

Đáp án đúng là: B

$P\left( B \right) = 0{,}2.0{,}7 + 0{,}8.0{,}6 = 0{,}62$.

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) $f'\left( x \right) = \cos x + 1$.

Vì $- 1 \le \cos x \le 1$$\Rightarrow 0 \le \cos x + 1 \le 2$ $\Rightarrow 0 \le f'\left( x \right) \le 2$.

b) $\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} = f\left( b \right) - f\left( a \right)$.

Vì $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $a < b \Rightarrow f\left( a \right) < f\left( b \right) \Rightarrow f\left( b \right) - f\left( a \right) > 0$.

c) Đổi cận: $t = 0 \Rightarrow x = 0;t = \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}$.

Do đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\sin 2x + 2x} \right)dx}$.

d) $S = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi } {\left| {\sin x + x} \right|dx}$$= \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi } {\left( {\sin x + x} \right)dx}$$= \left. {\left( { - \cos x + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{2\pi }$$= - 1 + 2{\pi ^2} + \frac{1}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}$$= \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{35{\pi ^2}}}{{18}}$.

Suy ra $a + b = 35 + 18 = 53$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;1;0} \right)$ và vuông góc với $d$ nhận $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 1} \right) - z = 0$$\Leftrightarrow 2x + y - z - 5 = 0$.

Suy ra $b = 1;c = - 1;d = - 5$. Do đó $b + c + d = - 5$.

c) Gọi H là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.

Khi đó tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ $\{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=-2+t \\ z=-t \\ 2x+y-z-5=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1+2t \\ y=-2+t \\ z=-t \\ 2+4t-2+t+t-5=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=\frac{8}{3} \\ y=-\frac{7}{6} \\ z=-\frac{5}{6} \\ t=\frac{5}{6}\end{matrix}$

Suy ra $H(\frac{8}{3};-\frac{7}{6};-\frac{5}{6})$

Vì $M'$ là điểm đối xứng với $M$ qua $d$ nên $H$ là trung điểm của $M'M$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.\frac{8}{3} - 2\\{y_{M'}} = 2.\left( { - \frac{7}{6}} \right) - 1\\{z_{M'}} = 2.\left( { - \frac{5}{6}} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = \frac{{10}}{3}\\{y_{M'}} = - \frac{{10}}{3}\\{z_{M'}} = - \frac{{10}}{6}\end{array} \right.$. Vậy $M'\left( {\frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{3}; - \frac{{10}}{6}} \right)$.

d) Giả sử $\Delta$ cắt đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ tại $K$. Suy ra $K\left( {1 + 2t; - 2 + t; - t} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {MK} = \left( {2t - 1;t - 3; - t} \right)$.

Vì $\Delta \bot d$ nên $\overrightarrow {MK} .\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2t - 1} \right).2 + \left( {t - 3} \right).1 + t = 0$$\Leftrightarrow t = \frac{5}{6}$.

Suy ra $\overrightarrow {MK} = \left( {\frac{2}{3}; - \frac{{13}}{6}; - \frac{5}{6}} \right) = \frac{2}{3}\left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( {2;1;0} \right)$ nhận $\overrightarrow u = \left( {1; - \frac{{13}}{4}; - \frac{5}{4}} \right)$ có phương trình là

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - \frac{{13}}{4}}} = \frac{z}{{ - \frac{5}{4}}}$. Suy ra $a + b = - \frac{9}{2}$.

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) $IM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2}} = 3$.

b) Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua điểm $M$ có phương trình là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$.

c) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm $M$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $- 2\left( {x + 1} \right) + 2y - \left( {z - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow - 2x + 2y - z = 0$.

d) Gọi $M$ là hình chiếu của $I$ lên trục $Ox$. Khi đó $M\left( {1;0;0} \right)$.

Suy ra $IM = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $MB = \sqrt 3$.

Suy ra $R = \sqrt {I{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {16}$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có $P\left( {A|D} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{0{,}78}}{{0{,}83}} \approx 0{,}94$.

b) $P\left( {D|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}78}}{{0{,}82}} \approx 0{,}95$.

c) $P\left( {A|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {A \cap \overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{P\left( A \right) - P\left( {A \cap D} \right)}}{{1 - P\left( D \right)}} = \frac{{0{,}82 - 0{,}78}}{{1 - 0{,}83}} \approx 0{,}24$.

d) $P\left( {D|\overline A } \right) = \frac{{P\left( {D \cap \overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( D \right) - P\left( {D \cap A} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}83 - 0{,}78}}{{1 - 0{,}82}} \approx 0{,}28$.

Trả lời: 4

Hình phẳng đã cho được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = \cos x,\,y = x$ và hai đường thẳng $x = 1,\,x = 3$. Khi đó diện tích hình phẳng được tính theo công thức

$S = \int\limits_1^3 {\left| {\cos x - x} \right|{\rm{d}}x}$. Vì $x \ge \cos x,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$ nên ta có:

$S = \int\limits_1^3 {\left( {x - \cos x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \sin x} \right)} \right|_1^3 = 4 - \sin 3 + \sin 1 \approx 4$.

Trả lời: −1

Ta có $\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} + 3}}} = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{d\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} + 3}}} = \left. {\ln \left| {{e^x} + 3} \right|} \right|_0^{\ln 2}$$= \ln 5 - \ln 4$$= \ln 5 - 2\ln 2$.

Suy ra $a = - 2;b = 1$. Do đó $a + b = - 1$.

Trả lời: 9,8

Gọi parabol $y = f\left( x \right)$ có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$. Parabol $y = f\left( x \right)$ nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên ta có $\frac{{ - b}}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0$. Lại có đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( {0; - 1} \right)$ và điểm $\left( {2;0} \right)$ nên $a = \frac{1}{4}$ và $c = - 1$.

Vậy parabol $y = f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^2} - 1$.

Tương tự, ta cũng có parabol $y = g\left( x \right) = - \frac{1}{4}{x^2} + 2$.

Phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là:

$\frac{1}{4}{x^2} - 1 = - \frac{1}{4}{x^2} + 2 \Leftrightarrow x = \sqrt 6$ hoặc $x = - \sqrt 6$.

Khi đó, diện tích của logo là:

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left[ {\left( { - \frac{1}{4}{x^2} + 2} \right) - \left( {\frac{1}{4}{x^2} - 1} \right)} \right]dx} \\\,\,\, = \int\limits_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } {\left( {3 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = } \left. {\left( {3x - \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|_{ - \sqrt 6 }^{\sqrt 6 } = 4\sqrt 6 \approx 9{,}8\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\end{array}$.

Trả lời: 15

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\vec u = (5;\,10;\, - 3)$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0\,;0\,;1)$.

Từ đó, góc $\alpha$ giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng$(Oxy))$ có $\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {134} }}$.

Suy ra $\alpha \approx 15^\circ$.

Trả lời: 23,9

Đặt $O$ là vị trí giao nhau giữa hai bức tường và nền nhà.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có $M\left( {18;17;21} \right)$.

Vì khoảng cách từ tâm quả bóng đến bức tường bằng nhau nên tâm của quả bóng có tọa độ là $I\left( {r;r;r} \right)$.

Do $M$ nằm trên bề mặt bóng nên khoảng cách từ tâm I đến M chính bằng r.

Do đó ta có $\sqrt {{{\left( {18 - r} \right)}^2} + {{\left( {17 - r} \right)}^2} + {{\left( {21 - r} \right)}^2}} = r$$\Leftrightarrow 3{r^2} - 112r + 1054 = {r^2}$

$\Leftrightarrow 2{r^2} - 112r + 1054 = 0$$\Leftrightarrow r \approx 44{,}03$ hoặc $r \approx 11{,}96$.

Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên chọn $r \approx 11{,}96$.

Do đó đường kính của bóng rổ khoảng 23,9 cm.

Trả lời: 13

Xét các biến cố:

A: “Bạn An lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên”;

B: “Bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội”.

Khi đó, $P\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn $35$ bộ câu hỏi, trong đó có $16$ câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra $P\left( {B|A} \right) = \frac{{16}}{{35}}$.

Nếu bạn An chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn $35$ bộ câu hỏi, trong đó có $15$ câu hỏi về chủ đề xã hội, suy ra $P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{15}}{{35}}$.

Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội là

$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= \frac{5}{9}.\frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}$.

Suy ra $a + b = 13$.