Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức nguyên hàm: $\int {\sin x{\rm{d}}x = - \cos x + C}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int\limits_1^2 {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx = 2}$$\Leftrightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} } = 2$

$\Leftrightarrow - 1 + \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 2 \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {g\left( x \right)dx} = 3$.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy: ${\left( {{x^4} + {x^3} + 5x} \right)^\prime } = 4x{}^3 + 3{x^2} + 5 = f\left( x \right)$

Do đó hàm số $F\left( x \right) = x{}^4 + {x^3} + 5x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} + 3{x^2} + 5$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: $F\left( x \right) = x{}^4 + {x^3} + 5x + C.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)} dx = - 2\cot x + x + C = f(x)$.

$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 4 \Leftrightarrow C = 4 - \frac{\pi }{2} \Rightarrow f\left( x \right) = - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}$.

$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left( { - 2\cot x + x + 4 - \frac{\pi }{2}} \right){\rm{d}}x} = = \left. {\left[ { - 2\ln \left( {\sin x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} + 4x - \frac{\pi }{2}x} \right]} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 2\pi$.

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {{{\cos }^2}x} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2x} \right)dx}$$= \left. {\frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{8} + \frac{1}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Thể tích khối tròn xoay bằng $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\frac{1}{{x + 1}}dx = } \left. {\pi \ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^2 = \pi \ln 3$.

Đáp án đúng là: C

Viết lại $\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25$. Vậy bán kính của mặt cầu bằng $5$.

Đáp án đúng là: A

Trung điểm $M$ của $\;BC$ có tọa độ là: $M\left( {1; - 1;2} \right)$.

Trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ đi qua điểm$A\left( {1;\, - 2;\,0} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {0;\,1;\,2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - \sqrt 3 ;0;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\sqrt 3 ;0;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - \sqrt 3 .\sqrt 3 + 0.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt 4 .\sqrt 4 }} = \frac{1}{2}$.

Do đó $\left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 3;1;2} \right)$, bán kính $R = 3$ là ${\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}2}}{{0{,}6}} = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Có $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

Có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= \frac{2}{5}.\frac{1}{3} + \frac{3}{5}.\frac{1}{4} = \frac{{17}}{{60}}$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ô tô dừng lại khi $v\left( t \right) = - 2t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 10$ giây.

b) Có $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}$.

c) Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng là

$S = \int\limits_0^{10} {\left( { - 2t + 20} \right)dt} = 100$m.

d) Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối (bao gồm 5 giây đi với vận tốc 20 m/s và 10 giây đi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn) là $20.5 + 100 = 200$m.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Thay tọa độ điểm $A\left( {3;2;0} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{2}$ ta được

$d:\frac{{3 + 1}}{1} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{{0 + 2}}{2}$ (vô lí).

Vậy đường thẳng $\left( d \right)$ không đi qua điểm $A\left( {3;2;0} \right)$.

b) Đường thẳng $\left( d \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)$.

c) Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( {3;2;0} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\left( d \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;2;2} \right)$làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng: $x + 2y + 2z - 7 = 0$.

H là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$ nên tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\x + 2y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\ - 1 + t + 2\left( { - 3 + 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) - 7 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 3 + 2t\\z = - 2 + 2t\\9t = 18\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\\t = 2\end{array} \right.$. Suy ra $H\left( {1;1;2} \right)$.

d) Vì $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$ nên H là trung điểm của $AA'$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.1 - 3\\{y_{A'}} = 2.1 - 2\\{z_{A'}} = 2.2 - 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = - 1\\{y_{A'}} = 0\\{z_{A'}} = 4\end{array} \right.$. Suy ra $A'\left( { - 1;0;4} \right)$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {2;1;0} \right)$ vào mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - 2z + 1 = 0$ ta được $2.2 + 1 - 2.0 + 1 = 4 \ne 0$.

Do đó điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

c) $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 2.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{4}{3}$.

d) Phương trình mặt cầu tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \frac{{16}}{9}.$

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Gọi A là biến cố “Lấy được viên bi đỏ ở lần thứ nhất”

B là biến cố “Lấy được viên bi đỏ ở lần thứ hai”

a) Xác suất để lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ là $P\left( A \right) = \frac{4}{{24}} = \frac{1}{6}$.

b) Xác suất để lần thứ hai lấy được viên bi đỏ, biết lần thứ nhất lấy được viên bi đỏ là

$P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{{23}}$.

c) Xác suất để cả hai lần đều lấy được viên bi đỏ là $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{6}.\frac{3}{{23}} = \frac{1}{{46}}$.

d) Xác suất để ít nhất một lần lấy được viên bi xanh là $1 - \frac{1}{{46}} = \frac{{45}}{{46}}$.

Trả lời: 1

Ta có: $\int\limits_a^b {\left| x \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_a^0 {\left( { - x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^b {x{\rm{d}}x} = \left. {\frac{{ - {x^2}}}{2}} \right|_a^0 + \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^b = \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{b^2}$.

Suy ra $m + n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Trả lời: 0

Ta có: $\int\limits_1^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x + \int\limits_4^5 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x$

$= \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x - \int\limits_2^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x + \int\limits_3^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x - \int\limits_4^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x$

$= {S_{{H_1}}} - {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} - {S_{{H_4}}} = \frac{9}{4} - \frac{{11}}{{12}} + \frac{{11}}{{12}} - \frac{9}{4} = 0$.

Trả lời: 425

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ đi qua các điểm $\left( {0;40} \right),\left( {50;30} \right),\left( { - 50;30} \right)$ nên ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}2500a + 50b + c = 30\\2500a - 50b + c = 30\\c = 40\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{250}}\\b = 0\\c = 40\end{array} \right.$. Suy ra $\left( P \right):y = - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40$.

Ta có $V = \pi \int\limits_{ - 50}^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}dx} \approx 425162\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} \approx 425$ lít.

Trả lời: 68

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1\,;\,2\,;\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {PQ} = \left( {2\,;\,3\,;\,6} \right)$. Khi đó:

$cos\left( {a\,,\,b} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|}} = \frac{8}{{21}}$, suy ra $\left( {a\,,\,b} \right) \approx 68^\circ$.

Trả lời: 6

Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}$.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là $6$km.

Trả lời: 65

Gọi A là biến cố “Người đó đã tiêm vắc xin phòng bệnh A”.

B là biến cố “Người đó mắc bệnh A”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}65 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}35$; $P\left( {B|A} \right) = 0{,}05$; $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}17$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}65.0{,}05 + 0{,}35.0{,}17 = 0{,}092$.

Suy ra $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}35.0{,}17}}{{0{,}092}} = \frac{{119}}{{184}}$.

Suy ra $b - a = 65$.