Bài tập Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD.

Mà SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD.

Lại có AO ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SO.

Do đó góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng $\widehat{SOA}$.

Xét ∆ABC vuông tại B, có $AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=2a\sqrt{2}$.

Mà O là trung điểm AC nên $AO=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$.

Xét ∆SAO vuông tại A, $tan\widehat{SOA}=\frac{SA}{AO}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}$$\Rightarrow \widehat{SOA}=60^{\circ}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì ∆SBC đều nên SM ⊥ BC, $SM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Ta có (SBC) ⊥ (ABC) và SM ⊥ BC ⇒ SM ⊥ (ABC) ⇒ SM ⊥ AC.

Gọi N là trung điểm của AC ⇒ MN // AB mà AB ⊥ AC suy ra MN ⊥ AC.

Ta có SM ⊥ AC và MN ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (SMN) ⇒ AC ⊥ SN .

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng $\widehat{SNM}$.

Xét ∆ABC vuông tại A, có AB = BC∙cos60° = a.

Vì MN là đường trung bình của ∆ABC nên $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét ∆SMN vuông tại M, $tan\widehat{SNM}=\frac{SM}{MN}=2\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: C

Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BC.

Gọi M là trung điểm của BC ⇒ OM ⊥ BC.

Vì SO ⊥ BC và OM ⊥ BC nên BC ⊥ (SOM) ⇒ BC ⊥ SM.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng $\widehat{SMO}$.

Vì OM là đường trung bình của ∆ABC nên $OM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét ∆SOM vuông tại O, có $tan\widehat{SMO}=\frac{SO}{OM}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SMO}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ CM.

Kẻ AH ⊥ CM tại H.

Vì SA ⊥ CM và AH ⊥ CM nên CM ⊥ (SAH) ⇒ CM ⊥ SH

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SMC) và mặt đáy (ABC) bằng $\widehat{SHA}$.

Vì M là trung điểm của AB nên $BM=\frac{AB}{2}=1$.

Xét ∆CBM vuông tại B, có $CM=\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+{(2\sqrt{3})}^{2}}=\sqrt{13}$.

Ta có S$_{∆ABC}$ = 2S$_{∆CMA}$ nên $\frac{1}{2}AB.BC=2.\frac{1}{2}AH.CM$$\Rightarrow 2\sqrt{3}=AH.\sqrt{13}\Rightarrow AH=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

Xét ∆SAH vuông tại A, $tan\widehat{SHA}=\frac{SA}{AH}=\frac{\sqrt{13}}{4}$.

Đáp án đúng là: B

Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC (do tam giác ABC vuông cân tại B) nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\widehat{SBA}$.

Xét ∆SAB vuông tại A, $tan\widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SBA}=60^{\circ}$.