10 Bài tập Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.

Vì AA' ^ (ABCD) ⇒ AA' ^ BD mà AO ^ BD nên BD ^ (AOA') ⇒ BD ^ A'O.

Khi đó: $\{\begin{matrix}({A}^{'}BD)\cap (ABD)=BD \\ {A}^{'}O\perp BD \\ AO\perp BD\end{matrix}\Rightarrow [{A}^{'},BD,A]=\widehat{{A}^{'}OA}=30^{\circ}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD mà O là tâm hình vuông nên $AO=\frac{AC}{2}=a$ .

Xét DA'AO vuông tại A, ta có:$\text{tan}\widehat{{A}^{'}OA}=\frac{A{A}^{'}}{AO}\Rightarrow A{A}^{'}=\frac{1}{\sqrt{3}}.a=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề (1) sai. Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.

Đáp án đúng là: A

Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AC (1).

Do ABCD là hình vuông nên BD ^ AC (2).

Từ (1) và (2), suy ra AC ^ (BB'D) mà AC Ì (AB'C) nên (AB'C) ^ (BB'D).

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm BC, khi đó $MA=MC'=\sqrt{{a}^{2}+{(\frac{a}{2})}^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AC'. Tương tự ta cũng có các điểm N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm DC, DD', D'A', A'B', B'B và cũng thuộc mặt phẳng trung trực.

Vậy thiết diện cần tìm là lục giác đều MNPQRS.

Có $MN=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó diện tích của lục giác đều bằng $6.{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$

Đáp án đúng là: D

Tổng số đo các góc của hình lục giác là 720°. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là 120° $\Rightarrow \widehat{FAB}=120^{\circ}$ .

Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:

AD là tia phân giác của góc $\widehat{FAB}$ và $\widehat{EDC}$ . $\Rightarrow \widehat{FAD}=\frac{\widehat{FAB}}{2}=60^{\circ}$

Tam giác AFD vuông tại F có $\widehat{FAD}=60^{\circ}$và AD = a ta suy ra: $\cos \widehat{FAD}=\frac{AF}{AD}\Rightarrow AF=AD.\cos \widehat{FAD}=a.\cos 60^{\circ}=a.\frac{1}{2}=\frac{a}{2}$ .