Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm BC ⇒ AI ⊥ BC (vì ABC là tam giác đều) (1).

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ SI.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}$.

Mà ∆ABC đều cạnh a nên $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét ∆SAI vuông tại A, ta có: ${\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của BC. Suy ra OI ⊥ BC.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) và $SO = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}$.

Và SC = SB nên tam giác SBC cân tại S ⇒ SI ⊥ BC.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIO}$.

Ta có: OI là đường trung bình tam giác ABC nên $OI = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$.

Xét ∆SIO vuông tại O, ta có: $\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SIO} = 30^\circ$.

Vậy số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì ∆OBC vuông cân tại O ⇒ OI ⊥ BC (1).

Vì OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (AOI) ⇒ BC ⊥ AI

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {OBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AI\\BC \bot OI\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {O,BC,A} \right] = \widehat {OIA}$.

Và $OI = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 3$.

Xét ∆OAI vuông tại O, ta có: $\tan \widehat {OIA} = \frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {OIA} = 30^\circ$.

Vậy [O, BC, A] = 30°.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I trung điểm của BC. Suy ra OI ⊥ BC.

Khi đó: SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC mà OI ⊥ BC nên BC ⊥ (SOI) ⇒ BC ⊥ SI.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIO}$.

Và ∆SCD đều cạnh a ⇒ $SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

OI là đường trung bình của ∆ACB ⇒ $OI = \frac{a}{2}$.

Xét ∆SOI vuông tại O, ta có:$\cos \widehat {SIO} = \frac{{OI}}{{SI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.