10 Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vì SA ^ (ABCD) ⇒ SA ^ BC.

Ta có: $\{\begin{matrix}BC\perp AB \\ BC\perp SA\end{matrix}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$ .

Khi đó: $\{\begin{matrix}(SBC)\cap (ABC)=BC \\ SB\perp BC \\ AB\perp BC\end{matrix}\Rightarrow [S,BC,A]=\widehat{SBA}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm BC ⇒ AI ^ BC (vì ABC là tam giác đều) (1).

Vì SA ^ (ABC) ⇒ SA ^ BC (2).

Từ (1) và (2) ⇒ BC ^ (SAI) ⇒ BC ^ SI.

Khi đó:$\{\begin{matrix}(SBC)\cap (ABC)=BC \\ SI\perp BC \\ AI\perp BC\end{matrix}\Rightarrow [S,BC,A]=\widehat{SIA}$ .

Mà DABC đều cạnh a nên $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét DSAI vuông tại A, ta có: $\text{tan}\widehat{SIA}=\frac{SA}{AI}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SIA}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của BC. Suy ra OI ^ BC.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ (ABCD) và $SO=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Và SC = SB nên tam giác SBC cân tại S ⇒ SI ^ BC.

Ta có: $SO=\frac{a}{2\sqrt{3}}\Rightarrow [S,BC,A]=\widehat{SIO}$ .

Ta có: OI là đường trung bình tam giác ABC nên $\Rightarrow [S,BC,A]=\widehat{SIO}$ .

Xét DSIO vuông tại O, ta có: $\tan \widehat{SIO}=\frac{SO}{OI}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \widehat{SIO}=30^{\circ}$ .

Vậy số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì DOBC vuông cân tại O ⇒ OI ^ BC (1).

Vì OA ^ OB và OA ^ OC nên OA ^ (OBC) ⇒ OA ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AOI) ⇒ BC ^ AI

Khi đó: $\{\begin{matrix}(OBC)\cap (ABC)=BC \\ BC\perp AI \\ BC\perp OI\end{matrix}\Rightarrow [O,BC,A]=\widehat{OIA}$ .

Và $OI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}=a\sqrt{3}$ .

Xét DOAI vuông tại O, ta có: $OI=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}=a\sqrt{3}$ .

Vậy [O, BC, A] = 30°.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I trung điểm của BC. Suy ra OI ^ BC.

Khi đó: SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ BC mà OI ^ BC nên BC ^ (SOI) ⇒ BC ^ SI.

Ta có: $\{\begin{matrix}(SBC)\cap (ABC)=BC \\ BC\perp SI \\ BC\perp OI\end{matrix}\Rightarrow [S,BC,A]=\widehat{SIO}$ .

Và DSCD đều cạnh a ⇒ $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

OI là đường trung bình của DACB ⇒ $OI=\frac{a}{2}$.

Xét DSOI vuông tại O, ta có: $\cos \widehat{SIO}=\frac{OI}{SI}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.