Bài tập Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm BC ⇒ AI ⊥ BC (vì ABC là tam giác đều) (1).

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ SI.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}$.

Mà ∆ABC đều cạnh a nên $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét ∆SAI vuông tại A, ta có: ${\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của BC. Suy ra OI ⊥ BC.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) và $SO = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}$.

Và SC = SB nên tam giác SBC cân tại S ⇒ SI ⊥ BC.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIO}$.

Ta có: OI là đường trung bình tam giác ABC nên $OI = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}$.

Xét ∆SIO vuông tại O, ta có: $\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SIO} = 30^\circ$.

Vậy số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng 30°.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì ∆OBC vuông cân tại O ⇒ OI ⊥ BC (1).

Vì OA ⊥ OB và OA ⊥ OC nên OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ⊥ (AOI) ⇒ BC ⊥ AI

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {OBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AI\\BC \bot OI\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {O,BC,A} \right] = \widehat {OIA}$.

Và $OI = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}\sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = a\sqrt 3$.

Xét ∆OAI vuông tại O, ta có: $\tan \widehat {OIA} = \frac{{OA}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {OIA} = 30^\circ$.

Vậy [O, BC, A] = 30°.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I trung điểm của BC. Suy ra OI ⊥ BC.

Khi đó: SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC mà OI ⊥ BC nên BC ⊥ (SOI) ⇒ BC ⊥ SI.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIO}$.

Và ∆SCD đều cạnh a ⇒ $SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

OI là đường trung bình của ∆ACB ⇒ $OI = \frac{a}{2}$.

Xét ∆SOI vuông tại O, ta có:$\cos \widehat {SIO} = \frac{{OI}}{{SI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD, BC.

Vì ∆SAD đều nên SH ⊥ AD mà (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ BC.

Lại có HK ⊥ BC nên BC ⊥ (SHK) ⇒ BC ⊥ SK.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\HK \bot BC\\SK \bot BC\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SKH} = \varphi$.

Vì ∆SAD đều cạnh a nên $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$và HK = AB = 2a

Xét ∆SHK vuông tại H, ta có:

$\tan \varphi = \tan \widehat {SKH} = \frac{{SH}}{{HK}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC.

Mà BC ⊥ AB (do ∆ABC vuông cân tại B). Suy ra BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$.

Xét ∆SAB vuông tại A, ta có: $\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD.

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD mà AO ⊥ BD nên BD ⊥ (SOA) ⇒ BD ⊥ SO.

Khi đó:$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABD} \right) = BD\\OA \bot BD\\SO \bot BD\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}$.

Xét ∆ABC vuông tại B, có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$$\Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét ∆SOA vuông tại A, ta có:$\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{OA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ $\Rightarrow \widehat {SOA} = 30^\circ$

Vậy góc phẳng nhị diện [S, BD, A] bằng 30°.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ OC.

Có OC ⊥ BD và OC ⊥ SO nên OC ⊥ (SBD) ⇒ OC ⊥ SD (1).

Trong mặt phẳng (SBD), từ O kẻ OH ⊥ SD tại H (2).

Từ (1) và (2) ⇒ SD ⊥ (COH) ⇒ SD ⊥ CH.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SD\\OH \bot SD\\CH \bot SD\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ {B,SD,C} \right] = \widehat {OHC} = \varphi$.

Xét ∆ABC vuông tại B, có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2$$\Rightarrow AO = CO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD $\Rightarrow OD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét ∆SOA vuông tại O, có $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét ∆SOD vuông tại O, có $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{2}$.

Xét ∆OHC vuông tại O, ta có:$\tan \varphi = \tan \widehat {OHC} = \frac{{OC}}{{OH}} = \sqrt 2$.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

Vì SA = SC nên ∆SAC cân tại S, SO là trung tuyến nên SO ⊥ AC (1).

Vì SB = SD nên ∆SBD cân tại S, SO là trung tuyến nên SO ⊥ BD (2).

Từ (1) và (2), suy ra SO ⊥ (ABCD).

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có OM là đường trung bình của ∆ABC ⇒ $OM = \frac{{AB}}{2} = 2a$.

Xét ∆ABC vuông tại B, có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {16{a^2} + 9{a^2}} = 5a$.

Vì O là trung điểm AC nên $AO = CO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{5a}}{2}$.

Xét ∆SOA vuông tại O, có $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {25{a^2} - \frac{{25{a^2}}}{4}} = \frac{{5\sqrt 3 a}}{2}$.

Vì SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC mà OM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOM) ⇒ BC ⊥ SM.

Khi đó $\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\OM \bot BC\\SM \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow [S,{\rm{ }}BC,A] = \widehat {SMO}$.

Xét ∆SOM vuông tại O, $\tan \widehat {SMO} = \frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{{5\sqrt 3 a}}{2}}}{{2a}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow \widehat {SMO} = 65^\circ 12'$.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với tâm O của đáy ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Xét góc nhị diện [S, AC, B] có cạnh nhị diện là đường thẳng AC:

- BD ⊥ AC (do hai đường chéo hình vuông vuông góc)

- SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AC

Vì AC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau BD và SO nằm trong mặt phẳng (SBD)

⇒ AC ⊥ (SBD)

Ta có: (SBD) ∩ (SAC) = SO; (SBD) ∩ (ABC) = BD

⇒ Số đo góc nhị diện [S, AC, B] bằng góc giữa hai giao tuyến SO và BD, tức là góc $\widehat {SOB}$

Mà SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ BD ⇒ $\widehat {SOB}$ = 90°

Vậy [S, AC, B] = 90°.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của BC.

Vì SA = SB = SC = SD ⇒ hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là tâm O của hình chữ nhật ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật ⇒ AB ⊥ BC; MB ⊂ BC nên MB ⊥ AB

Lại có: M là trung điểm của BC, O là tâm hình chữ nhật ABCD

⇒ OM ∥ AB, mà AB ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC

Mặt khác, SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SO, OM nằm trong mặt phẳng (SOM), nên BC ⊥ (SOM).

Mà: (SOM) ∩ (ABCD) = OM; S, M ∈ (SBC) ⇒ (SOM) ∩ (SBC) = SM.

⇒ $\widehat {SMO}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Vì OM ∥ AB và OM = $\frac{{AB}}{2}$ ⇒ OM = 2a

Xét tam giác ABD vuông tại A:

DB = $\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}$ = $\sqrt {{{(4a)}^2} + {{(3a)}^2}}$ = 5a (định lý Pytago) ⇒ OD = $\frac{{DB}}{2}$ = $\frac{{5a}}{2}$

Xét tam giác SOD vuông tại O:

SO = $\sqrt {S{D^2} - O{D^2}}$ = $\sqrt {{{(5a)}^2} - {{\left( {\frac{{5a}}{2}} \right)}^2}}$ = $\frac{{5\sqrt 3 }}{2}$a (định lý Pytago)

Xét tam giác vuông SMO tại O, ta có: tan$\widehat {SMO}$ = $\frac{{SO}}{{OM}}$ = $\frac{{\frac{{5\sqrt 3 }}{2}a}}{{2a}}$ = $\frac{{5\sqrt 3 }}{4}$

⇒ $\widehat {SMO}$ ≈ 65°12'.

Đáp án đúng là: A

Do SB ⊥ SC và SB = SC = 1, nên tam giác SBC vuông cân tại S.

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó SM ⊥ BC.

Mặt khác:

AB$^{2}$ = SA$^{2}$ + SB$^{2}$ = 2 (định lý Pytago trong tam giác SAB vuông tại S)

AC$^{2}$ = SA$^{2}$ + SC$^{2}$ = 2 (định lý Pytago trong tam giác SAC vuông tại S)

Mà SB = SC = SA = 1 ⇒ AB = AC

⇒ Tam giác ABC cân tại A ⇒ Đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM ⊥ BC

Mặt phẳng (SAM) chứa hai đường thẳng cắt nhau SM, AM đều vuông góc với BC

⇒ (SAM) ⊥ BC.

Mà (SBC) ∩ (SAM) = SM; (ABC) ∩ (SAM) = AM

⇒ α = $\widehat {SMA}$là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

BC = $\sqrt {S{B^2} + S{C^2}}$ = $\sqrt {{1^2} + {1^2}}$ = $\sqrt 2$ (định lý Pytago) ⇒ BM = $\frac{{BC}}{2}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông SBM:

SM = $\sqrt {S{B^2} - B{M^2}}$ = $\sqrt {1 - \frac{1}{2}}$ = $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABM:

AM = $\sqrt {A{B^2} - B{M^2}}$ = $\sqrt {2 - \frac{1}{2}}$ = $\frac{{\sqrt 6 }}{2}$

Xét tam giác SAM vuông tại S:

cos α = cos$\widehat {SMA}$ = $\frac{{SM}}{{AM}}$ = $\frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}}$ = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi giao điểm của AC và BE là I

Do ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a

⇒ Tứ giác ABCE là hình vuông cạnh a ⇒ BE ⊥ AC hay BE ⊥ AI. (1)

Mặt khác, SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BE. (2)

Từ (1) và (2), do AI và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAI)

⇒ BE ⊥ (SAI).

Ta có: (SAI) ∩ (SBE) = SI; (SAI) ∩ (ABE) = AI

Vì mặt phẳng (SAI) vuông góc với cạnh BE

⇒ $\widehat {SIA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BE, A]

Vì ABCE là hình vuông cạnh a ⇒ IA = $\frac{{AC}}{2}$ = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác SIA vuông tại A: tan$\widehat {SIA}$ = $\frac{{SA}}{{IA}}$ = $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}:\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ = $\sqrt 3$ ⇒ $\widehat {SIA}$ = 60°.

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của AB.

Vì ABCD là hình thang vuông có AB ∥ CD, AB = 2DC nên CM là đường trung trực của AB

⇒ CM ⊥ AB

Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CM

Do CM vuông góc với hai đường thẳng AB và SA là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAB) ⇒ CM ⊥ (SAB).

Trong mặt phẳng (SAB), từ M kẻ MK ⊥ SB(K ∈ SB)

Ta có: CM ⊥ SB (vì CM ⊥ (SAB)); MK ⊥ SB. Do CM và MK là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (CKM) ⇒ SB ⊥ (CKM).

Mặt khác: (CKM) ∩ (SBC) = CK; (CKM) ∩ (SAB) = KM

Vì mặt phẳng (CKM) vuông góc với cạnh SB nên góc $\widehat {CKM}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, SB, A]

Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB ⇒ tam giác SAB vuông tại A. Do đó:

SB = $\sqrt {S{A^2} + A{B^2}}$ = $\sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} + {{(2a)}^2}}$ = $a\sqrt 6$ (định lý Pytago)

Xét hai tam giác vuông BKM và BAS, ta có $\widehat {KBM} = \widehat {ABS}$

⇒ △BKM đồng dạng với △BAS.

⇒ $\frac{{KM}}{{SA}} = \frac{{BM}}{{SB}}$. Mà BM = $\frac{{AB}}{2}$ = a; SA = $a\sqrt 2$; SB = $a\sqrt 6$

⇒ KM = $\frac{{BM}}{{SB}} \cdot SA$ = $\frac{a}{{a\sqrt 6 }}$⋅ $a\sqrt 2$ = $\frac{a}{{\sqrt 3 }}$

Xét △CKM vuông tại M, ta có: tan$\widehat {CKM}$ = $\frac{{CM}}{{MK}}$ = $\frac{a}{{\frac{a}{{\sqrt 3 }}}}$ = $\sqrt 3$ ⇒ $\widehat {CKM}$ = 60°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Góc nhị diện [B, SA, D] được tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAD), có giao tuyến là đường thẳng SA.

Vì vậy, cạnh của góc nhị diện là SA.

b) Đúng. Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ AB ⊥ SA, AD ⊥ SA

Mặt khác, (ABCD) ∩ (SAB) = AB; (ABCD) ∩ (SAD) = AD.

Mà SA ⊥ (ABCD) ⇒ Góc $\widehat {BAD}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Sai. Theo câu b), [B, SA, D] = $\widehat {BAD}$

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat {BAD}$ = 90°

Vậy số đo góc phẳng của góc nhị diện [B, SA, D] = 90°.

d) Đúng. Theo câu c), [B, SA, D] = 90°.

⇒ Góc nhị diện [B, SA, D] là góc nhị diện vuông

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện là mặt phẳng chứa hai tia Ox và Oy.

Do Ox ⊥ a, Oy ⊥ a

Mà Ox và Oy là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó ⇒ a ⊥ (xOy).

Vì vậy, mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện luôn vuông góc với cạnh a.

b) Đúng. Theo định nghĩa, số đo của góc nhị diện bằng số đo góc phẳng của góc nhị diện.

Do $\widehat {xOy}$ = 120° > 90° nên góc nhị diện có số đo lớn hơn 90° và nhỏ hơn 180°, tức là góc nhị diện tù.

c) Đúng. Ta có:$\widehat {xOy}$ = 85° < 90°

Vì số đo góc nhị diện bằng số đo góc phẳng của góc nhị diện nên góc nhị diện có số đo nhỏ hơn 90°, tức là góc nhị diện nhọn.

d) Sai. Theo định nghĩa góc nhị diện, số đo của góc phẳng không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên cạnh a.

Do đó, khi O di chuyển trên đường thẳng a, số đo của góc $\widehat {xOy}$ không thay đổi.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì tam giác ABC đều nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao.

Do đó AM ⊥ BC.

b) Đúng. Theo câu a), AM ⊥ BC; SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC.

Mà SA và AM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAM) ⇒ BC ⊥ (SAM).

Lại có: (SAM) ∩ (SBC) = SM; (SAM) ∩ (ABC) = AM

⇒ $\widehat {SMA}$ là góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

c) Sai. Theo chứng minh câu b), góc phẳng của góc nhị diện[S, BC, A] là $\widehat {SMA}$

⇒ Góc $\widehat {SBA}$ không phải là góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

d) Đúng. Theo câu b), $\widehat {SMA}$ là góc phẳng của góc nhị diện [S,BC,A]

Theo định nghĩa, số đo của góc nhị diện bằng số đo góc phẳng của nó.

Do đó, nếu $\widehat {SMA}$ = 60° thì [S, BC, A] = 60°.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hai mặt của góc nhị diện [A, SO, B] là các mặt phẳng (SAO) và (SBO), có cạnh chung là SO.

Do SO ⊥ (ABCD) nên mặt phẳng (ABCD) là một mặt phẳng vuông góc với cạnh SO.

b) Đúng. Ta có: OA ⊂ (ABCD), OA ⊥ SO; OB ⊂ (ABCD), OB ⊥ SO.

Mặt khác: SO ⊥ (ABCD); (ABCD) ∩ (SAO) = OA; (ABCD) ∩ (SBO) = OB

⇒ Góc $\widehat {AOB}$ là góc phẳng của góc nhị diện [A, SO, B].

c) Đúng. Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O.

Do đó: OA ⊂ AC, OB ⊂ BD ⇒ OA ⊥ OB ⇒ $\widehat {AOB}$ = 90°

Theo câu b), $\widehat {AOB}$ là góc phẳng của góc nhị diện [A,SO,B], nên số đo của góc nhị diện bằng 90°.

d) Sai. Theo câu c), góc nhị diện [A, SO, B] có số đo bằng 90°.

⇒ Góc nhị diện [A, SO, B] là góc nhị diện vuông.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hai mặt của góc nhị diện [A′, AB, C] là (A′AB) và (ABC), có cạnh chung là AB

Ta có: AA′ ⊥ AB (vì AA′ ⊥ (ABCD)); AD ⊥ AB (vì ABCD là hình vuông).

Do AA′ và AD là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (AA′D) ⇒ AB ⊥ (AA′D).

Mặt khác: (AA′D) ∩ (A′AB) = AA′, (AA′D) ∩ (ABC) = AD

⇒ Góc $\widehat {A'AD}$ là góc phẳng của góc nhị diện [A′, AB, C].

b) Đúng. Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương ⇒ AA′ ⊥ AD ⇒ $\widehat {A'AD}$ = 90°

Mà số đo góc nhị diện bằng số đo góc phẳng của nó

⇒ Góc nhị diện [A′, AB, C] bằng 90°.

c) Sai. Hai mặt của góc nhị diện [B′, BD, C] là (B′BD) và (CBD), có cạnh chung là BD.

Ta có: O ∈ BD, nên OB ⊂ BD.

Để là góc phẳng, hai cạnh của góc phải cùng vuông góc với BD

Mà OB ⊂ BD ⇒ OB không vuông góc với BD

⇒$\widehat {B'OB}$ không phải là góc phẳng của góc nhị diện [B′, BD, C].

d) Đúng. Hai mặt kề nhau của hình lập phương luôn vuông góc, nên góc nhị diện giữa chúng bằng 90°. Do đó góc phẳng tương ứng cũng bằng 90°.

Đáp án: 45

Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên BC ⇒ AH ⊥ BC

Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC

Nên SA và AH là hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với BC ⇒ BC ⊥ (SAH).

Mặt khác: (SAH) ∩ (SBC) = SH; (SAH) ∩ (ABC) = AH.

⇒ Góc $\widehat {SHA}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Xét tam giác vuông ABC tại A: sin$\widehat {ABC}$ = $\frac{{AC}}{{BC}}$ ⇔ BC = $\frac{{AC}}{{\sin 30^\circ }}$ = $\frac{a}{{\sin 30^\circ }}$ = 2a

⇒ cos$\widehat {ABC}$ = $\frac{{AB}}{{BC}}$ ⇒ AB = BC ⋅ cos30° = 2a ⋅ $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ = $a\sqrt 3$

AH = $\frac{{AB \cdot AC}}{{BC}}$ = $\frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{2a}}$ = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Mà SA = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

⇒ SA = AH ⇒ △SAH vuông cân tại A ⇒ $\widehat {SHA}$ = 45°

⇒ Số đo góc nhị diện [S, BC, A] = 45°.

Đáp án: 30

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Vì AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A. Do đó AM ⊥ BC (1)

Lại có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC (2)

Từ (1), (2), do SA và AM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SAM)

⇒ BC ⊥ (SAM).

Mặt khác: (SAM) ∩ (SBC) = SM, (SAM) ∩ (ABC) = AM

⇒ Góc $\widehat {SMA}$ là góc phẳng của góc nhị diện [S,BC,A]

Vì tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm cạnh BC

⇒ AM là đường phân giác của góc A ⇒ $\widehat {BAM}$ = $\frac{{120^\circ }}{2}$ = 60°

Xét tam giác ABM vuông tại M:

cos$\widehat {BAM}$ = $\frac{{AM}}{{AB}}$ ⇒ AM = AB ⋅ cos$\widehat {BAM}$ = a ⋅ $\frac{1}{2}$ = $\frac{a}{2}$

Xét tam giác SAM vuông tại A: tan$\widehat {SMA}$ = $\frac{{SA}}{{AM}}$ = $\frac{{\frac{a}{{2\sqrt 3 }}}}{{\frac{a}{2}}}$ = $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ ⇒ $\widehat {SMA}$ = 30°

Vậy [S, BC, A] = 30°.

Đáp án: 47

Xét kim tự tháp là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao 98m và cạnh đáy 180m:

Gọi O là tâm hình vuông đáy ABCD, M là trung điểm của cạnh AB

Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AB. (1)

Mặt khác, trong hình vuông ABCD, OM ⊥ AB. (2)

Từ (1) và (2), do SO và OM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SOM)

⇒ AB ⊥ (SOM)

Lại có: (SOM) ∩ (SAB) = SM, (SOM) ∩ (ABCD) = OM.

⇒ Vì vậy, theo định nghĩa góc phẳng của góc nhị diện, ta có:

[(SAB), AB, (ABCD)] = $\widehat {SMO}$

Vì M là trung điểm của cạnh AB ⇒ OM = $\frac{{AB}}{2} = \frac{{180}}{2}$ = 90m

Xét tam giác SOM vuông tại O: tan$\widehat {SMO}$ = $\frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{98}}{{90}} = \frac{{49}}{{45}}$ ⇒ $\widehat {SMO}$ ≈ 47°.

Đáp án: 81,4

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều nên O ∈ AM và AM ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC. (1)

Mặt khác, SO ⊥ (ABC) ⇒ SO ⊥ BC. (2)

Từ (1) và (2), do SO và OM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SOM)

⇒ BC ⊥ (SOM).

Lại có: (SOM) ∩ (SBC) = SM, (SOM) ∩ (OBC) = OM

⇒ [S, BC, O] = $\widehat {SMO}$

Vì tam giác ABC đều: AM = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ ⇒ AO = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Do M là trung điểm của BC ⇒ OM = AM − AO = $\frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Xét tam giác vuông SAO:

SO = $\sqrt {S{A^2} - A{O^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}$ = $\frac{{a\sqrt {33} }}{3}$ (định lý Pytago)

Xét tam giác vuông SOM tại O: tan$\widehat {SMO}$ = $\frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {33} }}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}$ = 2$\sqrt {11}$ ⇒ $\widehat {SMO}$ ≈ 81,4°.

Đáp án: 54

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có: BO ⊥ AC

SC ⊥ (ABCD) ⇒ BO ⊥ SC.

Vì BO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SC thuộc mặt phẳng (SAC), nên BO ⊥ (SAC) ⇒ BO ⊥ SA

Xét hai mặt phẳng: (SBA) ∩ (SAC) = SA

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI ⊥ SA (I ∈ SA). (1)

Do SA cùng vuông góc với hai đường thẳng BO và OI cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (BIO) ⇒ SA ⊥ (BIO) ⇒ SA ⊥ BI (2)

⇒ Từ (1), (2) ⇒ [B, SA, C] = $\widehat {BIO}$

Xét hai tam giác vuông △IAO và △CAS, ta có: $\widehat {IAO} = \widehat {CAS}$ nên △IAO đồng dạng với △CAS

⇒ $\frac{{OI}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}}$ (*)

Ta có: OA = $\frac{{AC}}{2}$ = $\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}$ = a$\sqrt 2$

Xét tam giác SAC vuông tại C:

SA = $\sqrt {S{C^2} + A{C^2}}$ = $\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}}$ = a$\sqrt {17}$ (định lý Pytago)

Từ (*) ⇒ OI = $\frac{{OA \cdot SC}}{{SA}}$ = $\frac{{a\sqrt 2 \cdot 3a}}{{a\sqrt {17} }}$ = $\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}$a

Mặt khác: BO = $\frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2}$ = $a\sqrt 2$

Xét tam giác BOI vuông tại O: tan$\widehat {BIO}$ = $\frac{{BO}}{{OI}}$ = $\frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}}$ = $\frac{{\sqrt {17} }}{3}$ ⇒ $\widehat {BIO}$ ≈ 54°.