13 Bài tập Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = x$^{2}$ trên khoảng (–∞; 0).

Lấy x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý sao cho x$_{1}$< x$_{2}$, ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = x$_{1}$$^{2}$ – x$_{2}$$^{2}$ = (x$_{1}$– x$_{2}$)(x$_{1}$+ x$_{2}$)

Do x$_{1}$< x$_{2}$nên x$_{1}$– x$_{2}$ < 0 và do x$_{1}$, x$_{2}$ thuộc (–∞; 0) nên x$_{1}$+ x$_{2}$ < 0.

Từ đó suy ra: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 hay f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$< x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số có đồ thị như hình trên, từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [– 3; 7]. Ta có:

+ Trên khoảng (–3; –2), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; –2).

+ Trên khoảng (–2; 5), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 5).

+ Trên khoảng (5; 7), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (5; 7).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số f(x) = 4 – 3x có tập xác định D = ℝ.

Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc D sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (4 – 3x$_{1}$) – (4 – 3x$_{2}$) = 3x$_{2}$ – 3x$_{1}$ = 3(x$_{2}$ – x$_{1}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{2}$ – x$_{1}$ < 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 ⇒ f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$ > x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số ngịch biến trên (43; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số f(x) = 4x + 5

Chọn x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–∞; 2) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (4x$_{1}$+ 5) – (4x$_{2}$+ 5) = 4x$_{1}$ – 4x$_{2}$ = 4(x$_{1}$ – x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, hàm số f(x) = 4x + 5 đồng biến trên khoảng (–∞; 2).

Chọn x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (2; +∞) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (4x$_{1}$+ 5) – (4x$_{2}$+ 5) = 4x$_{1}$ – 4x$_{2}$ = 4(x$_{1}$ – x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, hàm số f(x) = 4x + 5 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số f(x) = 3x

Chọn x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (0; +∞) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = 3x$_{1}$ – 3x$_{2}$ = 3(x$_{1}$ – x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, hàm số f(x) = 3x đồng biến trên khoảng (0; +∞).