13 Bài tập Cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = x$^{2}$ trên khoảng (–∞; 0).

Lấy x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý sao cho x$_{1}$< x$_{2}$, ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = x$_{1}$$^{2}$ – x$_{2}$$^{2}$ = (x$_{1}$– x$_{2}$)(x$_{1}$+ x$_{2}$)

Do x$_{1}$< x$_{2}$nên x$_{1}$– x$_{2}$ < 0 và do x$_{1}$, x$_{2}$ thuộc (–∞; 0) nên x$_{1}$+ x$_{2}$ < 0.

Từ đó suy ra: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 hay f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$< x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số có đồ thị như hình trên, từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [– 3; 7]. Ta có:

+ Trên khoảng (–3; –2), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; –2).

+ Trên khoảng (–2; 5), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 5).

+ Trên khoảng (5; 7), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (5; 7).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét hàm số f(x) = 4 – 3x có tập xác định D = ℝ.

Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc D sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (4 – 3x$_{1}$) – (4 – 3x$_{2}$) = 3x$_{2}$ – 3x$_{1}$ = 3(x$_{2}$ – x$_{1}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{2}$ – x$_{1}$ < 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 ⇒ f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$ > x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số ngịch biến trên (43; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số f(x) = 4x + 5

Chọn x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–∞; 2) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (4x$_{1}$+ 5) – (4x$_{2}$+ 5) = 4x$_{1}$ – 4x$_{2}$ = 4(x$_{1}$ – x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, hàm số f(x) = 4x + 5 đồng biến trên khoảng (–∞; 2).

Chọn x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (2; +∞) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (4x$_{1}$+ 5) – (4x$_{2}$+ 5) = 4x$_{1}$ – 4x$_{2}$ = 4(x$_{1}$ – x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, hàm số f(x) = 4x + 5 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số f(x) = 3x

Chọn x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (0; +∞) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = 3x$_{1}$ – 3x$_{2}$ = 3(x$_{1}$ – x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, hàm số f(x) = 3x đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –0,5x có tập xác định D = ℝ.

Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc D sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có:

f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (– 0,5x$_{1}$) – (– 0,5x$_{2}$) = 0,5(x$_{2}$ – x$_{1}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{2}$ – x$_{1}$ < 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 ⇒ f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$ > x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số không đồng biến trên (0; 10).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = –0,5x có tập xác định D = ℝ.

Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc D sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có:

f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = (– 0,5x$_{1}$) – (– 0,5x$_{2}$) = 0,5(x$_{2}$ – x$_{1}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{2}$ – x$_{1}$ < 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 ⇒ f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$ > x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ. Do đó, hàm số không đồng biến trên (0; 10).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét khoảng (0; 1) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1).

Xét khoảng (1; 3), đồ thị hàm số vừa đi lên vừa đi xuống nên ta không xét tính đơn điệu trên khoảng này.

Xét khoảng (3; +∞), đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét khoảng (2; 3) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3).

Xét khoảng (0; 1) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải, do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1).

Xét khoảng (–1; 0) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 0).

Xét khoảng (3; +∞) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải, do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét khoảng (2; 4) ta thấy đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải, do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4).

Từ đồ thị, ta dễ dàng nhận ra các đáp án còn lại sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Xét hàm số y = x có tập xác định D = ℝ

Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–1; 0) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có: f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = x$_{1}$ – x$_{2}$

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ ⇒ x$_{1}$– x$_{2}$ > 0 ⇒ f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 ⇒ f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$)

Do đó, khi x$_{1}$ > x$_{2}$ thì f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$).

Vậy hàm số đồng biến trên (–1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = 2x$^{2}$ có tập xác định D = ℝ

Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc D sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có:

f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) = 2x$_{1}$$^{2}$ – 2x$_{2}$$^{2}$ = 2(x$_{1}$$^{2}$ – x$_{2}$$^{2}$) = 2(x$_{1}$ – x$_{2}$)(x$_{1}$ + x$_{2}$)

Ta có: x$_{1}$ > x$_{2}$ nên x$_{1}$ – x$_{2}$ > 0

Khi x$_{1}$, x$_{2}$ thuộc khoảng (0; +∞) thì x$_{1}$ + x$_{2}$> 0 nên f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) > 0 hay f(x$_{1}$) > f(x$_{2}$). Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Khi x$_{1}$, x$_{2}$ thuộc khoảng (–∞; 0) thì x$_{1}$ + x$_{2}$< 0 nên f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 hay f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$). Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hàm số y = x có tập xác định D = ℝ\{–1}.

+) Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–∞; –1) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có:

$f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}}$

$= \frac{{4({x_2} + 1) - 4({x_1} + 1)}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}$

$= \frac{{4{x_2} - 4{x_1}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}$

$= \frac{{4({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}$

Ta có: Khi x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–∞; –1) thì x$_{1}$ + 1 < 0, x$_{2}$ + 1 < 0

Mà x$_{1}$ > x$_{2}$ nên x$_{2}$ – x$_{1}$ < 0

Do đó, f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 hay f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số $f(x) = \frac{4}{{x + 1}}$ nghịch biến trên khoảng (–∞; –1).

+) Cho x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–1; +∞) sao cho x$_{1}$ > x$_{2}$ ta có:

$f({x_1}) - f({x_2}) = \frac{4}{{{x_1} + 1}} - \frac{4}{{{x_2} + 1}}$

$= \frac{{4({x_2} + 1) - 4({x_1} + 1)}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}$

$= \frac{{4{x_2} - 4{x_1}}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}$

$= \frac{{4({x_2} - {x_1})}}{{({x_1} + 1)({x_2} + 1)}}$

Ta có: Khi x$_{1}$, x$_{2}$ tùy ý thuộc (–1; +∞) thì x$_{1}$ + 1 > 0, x$_{2}$ + 1 > 0

Mà x$_{1}$ > x$_{2}$ nên x$_{2}$ – x$_{1}$ < 0

Do đó, f(x$_{1}$) – f(x$_{2}$) < 0 hay f(x$_{1}$) < f(x$_{2}$).

Vậy hàm số $f(x) = \frac{4}{{x + 1}}$ nghịch biến trên khoảng (–1; +∞).