12 bài tập Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số có đáp án

Đáp án đúng là: C

y = x$^{3}$ − 3x$^{2}$ +3(m + 2)x + 3m – 2025

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ $\Leftrightarrow$ y' = 3x$^{2}$ – 6x + 3(m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a > 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3 > 0{\rm{ }}}\\{9 - 9(m + 2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ge - 1{\rm{ }}} \right.} \right.$.

Vậy m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do m ∈ [−10; 10), m ∈ ℤ nên tổng các giá trị nguyên của tham số là 44.

Đáp án đúng là: B

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ $\Leftrightarrow$ y' = 3x$^{2}$ – 2(2m – 1)x + (2 – m) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) = 4{m^2} - m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le \frac{5}{4}$.

Vậy $- 1 \le m \le \frac{5}{4}$ thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do $m \in \left[ {a;\frac{b}{c}} \right]$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 5\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{c} = \frac{{13}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = 3x$^{2}$ – 6x + 4 – m.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ y' ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ – 6x + 4 – m ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow$ m ≤ 3x$^{2}$ – 6x + 4, ∀x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow$ m ≤ $\mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)$ với g(x) = 3x$^{2}$ – 6x + 4.

Ta có g'(x) = 6x – 6; g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 6x – 6 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≤ 4 thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: m ∈ (−∞; 4] thì hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Đáp án đúng là: C

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ y' = −3x$^{3}$ + 9x – 2m – 15 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (0; +∞) $\Leftrightarrow$ 3x$^{3}$ − 9x + 15 ≥ – 2m, ∀x ∈ (0; +∞).

Xét hàm số g(x) = 3x$^{3}$ − 9x + 15 trên (0; +∞).

Ta có: g'(x) = 9x$^{2}$ – 9; g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −1 (loại).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: $- 2m \le 9 \Leftrightarrow m \ge - \frac{9}{2}$.

Vậy m ∈ {−4; −3; −2; −1}.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ\{−4}.

Ta có $y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0\;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne - 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Vì m ∈ ℤ $\Rightarrow$ m ∈ {−1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị m nguyên để bài toán thỏa mãn.