12 bài tập Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số có đáp án

Đáp án đúng là: C

y = x$^{3}$ − 3x$^{2}$ +3(m + 2)x + 3m – 2025

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ $\Leftrightarrow$ y' = 3x$^{2}$ – 6x + 3(m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a > 0}\\{\Delta ' \le 0}\end{array}{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3 > 0{\rm{ }}}\\{9 - 9(m + 2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \ge - 1{\rm{ }}} \right.} \right.$.

Vậy m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do m ∈ [−10; 10), m ∈ ℤ nên tổng các giá trị nguyên của tham số là 44.

Đáp án đúng là: B

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ $\Leftrightarrow$ y' = 3x$^{2}$ – 2(2m – 1)x + (2 – m) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) = 4{m^2} - m - 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le m \le \frac{5}{4}$.

Vậy $- 1 \le m \le \frac{5}{4}$ thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do $m \in \left[ {a;\frac{b}{c}} \right]$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 5\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow P = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{c} = \frac{{13}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = 3x$^{2}$ – 6x + 4 – m.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ y' ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow$ 3x$^{2}$ – 6x + 4 – m ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow$ m ≤ 3x$^{2}$ – 6x + 4, ∀x ∈ (2; +∞)

$\Leftrightarrow$ m ≤ $\mathop {\min }\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} g\left( x \right)$ với g(x) = 3x$^{2}$ – 6x + 4.

Ta có g'(x) = 6x – 6; g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 6x – 6 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≤ 4 thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: m ∈ (−∞; 4] thì hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Đáp án đúng là: C

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ y' = −3x$^{3}$ + 9x – 2m – 15 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (0; +∞) $\Leftrightarrow$ 3x$^{3}$ − 9x + 15 ≥ – 2m, ∀x ∈ (0; +∞).

Xét hàm số g(x) = 3x$^{3}$ − 9x + 15 trên (0; +∞).

Ta có: g'(x) = 9x$^{2}$ – 9; g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = −1 (loại).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: $- 2m \le 9 \Leftrightarrow m \ge - \frac{9}{2}$.

Vậy m ∈ {−4; −3; −2; −1}.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ\{−4}.

Ta có $y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi $y' > 0\;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne - 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Vì m ∈ ℤ $\Rightarrow$ m ∈ {−1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị m nguyên để bài toán thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Ta có y' = 3(m + 2)x$^{2}$ + 6x + m

Hàm số có 2 cực trị $\Leftrightarrow$ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\{m^2} + 2m - 3 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\ - 3 < m < 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \in \left( { - 3;1} \right)\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Vậy P = a + b + c = −4.

Đáp án đúng là: B

Có y' = 3mx$^{2}$ + 6mx – (m – 1)

+ Khi m = 0 $\Rightarrow$ y' = 1 > 0 $\Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến $\Rightarrow$ m = 0 không thỏa mãn.

+ Khi m ≠ 0 $\Rightarrow$ y' = 0 $\Leftrightarrow$ 3mx$^{2}$ + 6mx – (m – 1) = 0 (1).

Ta có $\Delta '$ = 9m$^{2}$ + 3m(m – 1) = 12m$^{2}$ – 3m.

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta$' > 0 $\Leftrightarrow$ 12m$^{2}$ – 3m > 0 $\Leftrightarrow$ m < 0 hoặc $m > \frac{1}{4}$.

Suy ra có $2020$ bao nhiêu giá trị nguyên âm .

Đáp án đúng là: D

Ta có: y' = 4x$^{3}$ – 24x + m – 2

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y' = 4x$^{3}$ – 24x + m – 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ −4x$^{3}$ + 24x + 2 = m (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số g(x) = −4x$^{3}$ + 24x + 2 ta có g'(x) = −12x$^{2}$ + 24 = 0 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ = 2 $\Leftrightarrow$ $x = \pm \sqrt 2$

Bảng biến thiên:

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì $- 16\sqrt 2 + 2 < m < 16\sqrt 2 + 2$.

Mà m là số nguyên $\Rightarrow m \in \left\{ { - 20; - 19;...;23;24} \right\}$ nên có 45 giá trị m thoả mãn.

Đáp án đúng là: C

Ta có y = x$^{3}$ + 3(a + b)x$^{2}$ + 3(a$^{2}$ + b$^{2}$)x + a$^{3}$ + b$^{3}$.

Có y' = 3x$^{2}$ + 6(a + b)x + 3(a$^{2}$ + b$^{2}$).

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta$' = 18ab > 0 $\Leftrightarrow$ ab > 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có y' = 3mx$^{2}$ – 4mx + (m – 2).

+ Nếu m = 0 $\Rightarrow$ y' = −2 < 0 nên hàm số không có cực trị.

Do đó m = 0 (chọn) (1).

+ Nếu m ≠ 0

Hàm số không có cực trị $\Leftrightarrow$ y' không đổi dấu

$\Leftrightarrow \Delta$' ≤ 0 $\Leftrightarrow$ 4m$^{2}$ – 3m(m – 2) ≤ 0 $\Leftrightarrow$ m$^{2}$ + 6m ≤ 0 $\Leftrightarrow$ −6 ≤ m < 0 (do m ≠ 0) (2).

Kết hợp (1) và (2) ta được −6 ≤ m ≤ 0.

Ta có f'(x) = x$^{2}$ + 2mx + 4.

Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0,∀x ∈ ℝ (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Ta có f'(x) ≥ 0,∀x ∈ ℝ $\Leftrightarrow$ ∆' ≤ 0 $\Leftrightarrow$ ∆' = m$^{2}$ – 4 ≤ 0 $\Leftrightarrow$ −2 £ m ≤ 2.

Đặt $y = \frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{m{x^4}}}{4} + 2$.

Ta có: f'(x) = x$^{4}$ – mx$^{3}$.

Khi m = 0 thì f'(x) = x$^{4}$ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ nên hàm số không có cực trị.

Khi m ≠ 0, xét f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x$^{4}$ – mx$^{3}$ = 0 $\Leftrightarrow$ x$^{3}$(x – m) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = m.

+ Trường hợp m > 0 ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

+ Trường hợp m < 0 ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì m > 0.