12 Bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có ${\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha$

Do đó: sin$^{4}$α − cos$^{4}$α = sin$^{4}$α – (1 – 2sin$^{2}$ α + sin$^{4}$ α) = 2 sin$^{2}$α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin$^{4}$α − sin$^{4}$α = (sin$^{2}$α + cos$^{2}$α)( sin$^{2}$α − cos$^{2}$α)

= 1. [sin$^{2}$α – (1 − sin$^{2}$α)] = 2 sin$^{2}$α − 1.

Vậy sin$^{4}$α − cos$^{4}$α = 2 sin$^{2}$α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin$^{4}$α − cos$^{4}$α = 2 sin$^{2}$α − 1

⇔ sin$^{4}$α − 2 sin$^{2}$α + 1 − cos$^{4}$α = 0

⇔ (1 − sin$^{2}$α)$^{2}$ − cos$^{4}$α = 0

⇔ cos$^{4}$α − cos$^{4}$α = 0 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có $\widehat A$+ $\widehat B$+ $\widehat C$ = 180°.

Suy ra: 180° −$\widehat A$= $\widehat B$+ $\widehat C$.

Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).

Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau).

Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Từ hệ thức cos$^{2}$α + sin$^{2}$α = 1, ta suy ra được:

${\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 1$; ${\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1$; ${\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = 1$; ${\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1$.

Suy ra: $5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.1 = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Tam giác ABC có: $\widehat A$+ $\widehat B$+ $\widehat C$ = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra: 180° −$\widehat A$= $\widehat B$+ $\widehat C$ và

Do đó sin A = sin (180° − A) = sin (B + C), suy ra khẳng định A đúng.

Lại có $\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$ $\Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ$

Do đó:$\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}$ (hai góc phụ nhau), suy ra khẳng định C đúng.

Mặt khác tan A = − tan (180° −$\widehat A$) = − tan (B + C), suy ra khẳng định D đúng và B sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do 0° < x < 90° nên tanx > 0 và cotx > 0.

Ta có tanx . cotx = 1, suy ra cotx = $\frac{1}{{tanx}}$.

Khi đó: $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}}$ = $\frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$.

Vậy $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$.