12 Bài tập Chứng minh đẳng thức lượng giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Ta có ${\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 - 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha$

Do đó: sin$^{4}$α − cos$^{4}$α = sin$^{4}$α – (1 – 2sin$^{2}$ α + sin$^{4}$ α) = 2 sin$^{2}$α − 1.

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. Ta có sin$^{4}$α − sin$^{4}$α = (sin$^{2}$α + cos$^{2}$α)( sin$^{2}$α − cos$^{2}$α)

= 1. [sin$^{2}$α – (1 − sin$^{2}$α)] = 2 sin$^{2}$α − 1.

Vậy sin$^{4}$α − cos$^{4}$α = 2 sin$^{2}$α − 1.

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

sin$^{4}$α − cos$^{4}$α = 2 sin$^{2}$α − 1

⇔ sin$^{4}$α − 2 sin$^{2}$α + 1 − cos$^{4}$α = 0

⇔ (1 − sin$^{2}$α)$^{2}$ − cos$^{4}$α = 0

⇔ cos$^{4}$α − cos$^{4}$α = 0 (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có $\widehat A$+ $\widehat B$+ $\widehat C$ = 180°.

Suy ra: 180° −$\widehat A$= $\widehat B$+ $\widehat C$.

Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).

Lại có: cos(180° – A) = – cosA (quan hệ giữa hai góc bù nhau).

Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Từ hệ thức cos$^{2}$α + sin$^{2}$α = 1, ta suy ra được:

${\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 1$; ${\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1$; ${\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = 1$; ${\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1$.

Suy ra: $5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.1 = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Tam giác ABC có: $\widehat A$+ $\widehat B$+ $\widehat C$ = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).

Suy ra: 180° −$\widehat A$= $\widehat B$+ $\widehat C$ và

Do đó sin A = sin (180° − A) = sin (B + C), suy ra khẳng định A đúng.

Lại có $\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$ $\Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ$

Do đó:$\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}$ (hai góc phụ nhau), suy ra khẳng định C đúng.

Mặt khác tan A = − tan (180° −$\widehat A$) = − tan (B + C), suy ra khẳng định D đúng và B sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do 0° < x < 90° nên tanx > 0 và cotx > 0.

Ta có tanx . cotx = 1, suy ra cotx = $\frac{1}{{tanx}}$.

Khi đó: $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}}$ = $\frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 - \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x - 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$.

Vậy $\frac{{1 + \cot x}}{{1 - \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x - 1}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có

(sin x + cos x)$^{2}$ = sin$^{2}$x + 2sin x. cos x + cos$^{2}$x = 1 + 2sin x. cos x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có

sin$^{4}$ x + cos$^{4}$ x

= (sin$^{2}$x)$^{2}$ + (cos$^{2}$x)$^{2}$

= [(sin$^{2}$x)$^{2}$ + 2 sin$^{2}$ x. cos$^{2}$ x + (cos$^{2}$x)$^{2}$] – 2 sin$^{2}$ x. cos$^{2}$ x

= (sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x)$^{2}$ – 2 sin$^{2}$ x. cos$^{2}$ x

= 1 – 2 sin$^{2}$ x. cos$^{2}$ x.

Vậy sin$^{4}$ x + cos$^{4}$ x = 1 – 2 sin$^{2}$ x. cos$^{2}$ x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có:

(sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x)$^{2}$ + (sin$^{2}$ x − cos$^{2}$ x)$^{2}$

= sin$^{2}$x + 2sin x. cos x + cos$^{2}$x + sin$^{2}$x − 2sin x. cos x + cos$^{2}$x

= 2(sin$^{2}$x + cos$^{2}$x) = 2 . 1 = 2.

Vậy giá trị của biểu thức (sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x)$^{2}$ + (sin$^{2}$ x − cos$^{2}$ x)$^{2}$không phụ thuộc vào biến x và có kết quả bằng 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1, suy ra (sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x)$^{3}$ = 1$^{3}$ = 1.

Do đó ta có

1 − (sin$^{6}$x + cos$^{6}$x)

= ${\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - \left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$

$= {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right){\sin ^2}x.{\cos ^2}x - {\sin ^6}x - {\cos ^6}x$

$= 3.1.{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x$.

Vậy 1 − (sin$^{6}$x + cos$^{6}$x) = 3sin$^{2}$ x . cos $^{2}$ x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau ta có:

sin 20° = sin(180° − 160°) = sin 160°;

cos 20° = cos(180° − 160°) = − cos 160°;

tan 20° = tan(180° − 160°) = − tan 160°;

cot 20° = cot(180° − 160°) = − cot 160°.

Vậy đáp án A đúng, B, C, D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: ${\sin ^4}x + 4{\cos ^2}x = {\sin ^4}x + 4.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = {\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)^2}$

Và ${\cos ^4}x + 4{\sin ^2}x = {\cos ^4}x + 4\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2}$

Do đó

$\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x$

$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)}^2}} + {\tan ^2}x$

$= \left| {{{\sin }^2}x - 2} \right| + \left| {{{\cos }^2}x - 2} \right| + {\tan ^2}x$ (do $0 \le {\cos ^2}x;{\sin ^2}x \le 1$)

$= 2 - {\sin ^2}x + 2 - {\cos ^2}x + {\tan ^2}x$

$= 4 - \left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) + {\tan ^2}x$

$= 4 - 1 + {\tan ^2}x = 3 + {\tan ^2}x$.

Vậy $\sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} + {\tan ^2}x$ = 3 + tan$^{2}$x.

Hướng dẫn giải.

Đáp án đúng là: B.

Với 0° < α < 90°, ta có

sin (α + 90°)

= sin (180° − ( α + 90° )) (hai góc bù nhau)

= sin (90°− α )

= cos α (hai góc phụ nhau).

Vậy sin (α + 90°) = cos α.