Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ có đáp án

Sau bài học này ta sẽ trả lời được:

Với góc α cho trước, 0$^{o}$< α < 180$^{o}$.

Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) sao cho $\widehat{xOM}=α$ .

Khi đó: sinα = y$_{0}$; cosα = x$_{0}$;

tanα = $\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$(x$_{0}$ ≠ 0); cotα = $\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$(y$_{0}$≠ 0).

a)

Gọi điểm A có tọa độ A(1; 0).

• α = 90$^{o}$ hay $\widehat{AOM}={90}^{o}$ . Khi đó, điểm M có tọa độ M(0; 1).

• α < 90$^{o}$ hay $\widehat{AOM}<{90}^{o}$ .

Do đó, điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) nằm trên cung tròn (không tính điểm C) thỏa mãn 0 < x$_{0}$ ≤ 1, 0 ≤ y$_{0}$ < 1.

• α > 90$^{o}$ hay .

Do đó, điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) nằm trên cung tròn (không tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x$_{0}$ < 0, 0 ≤ y$_{0}$ < 1.

b) Khi 0$^{o}$ < α < 90$^{o}$

Kẻ MH ^ Ox, MK ^ Oy (H Î Ox, H Î Oy). Khi đó $\widehat{MOH}=α$ .

Gọi điểm M có tọa độ M(x$_{0}$; y$_{0}$).

Xét tứ giác MKOH có:

(Ox ^ Oy)

(MH ^ Ox)

(MK ^ Oy)

Do đó tứ giác MKOH là hình chữ nhật.

Suy ra OH = |x$_{0}$| = x$_{0}$; MH = OK = |y$_{0}$| = y$_{0}$.

Ta có OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Xét ∆MHO vuông tại H, ta có:

$\sin α=\frac{MH}{OM}=\frac{{y}_{0}}{1}={y}_{0}$.

Hay sin α = y$_{0}$.

Ta lại có: $\cos α=\frac{OH}{OM}=\frac{{x}_{0}}{1}={x}_{0}$ .

Hay cos α = x$_{0}$.

Vậy cos α là hoành độ của điểm M và sin α là tung độ của điểm M.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^{0}$. Gọi H, K tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.

Điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho .

Hai điểm N, P tương ứng là hình chiếu vuông của M lên hai trục Ox, Oy.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Ta có $\widehat{xOM}+\widehat{NOM}={180}^{o}$ .

$\widehat{NOM}={180}^{o}-\widehat{xOM}={180}^{o}-{120}^{o}={60}^{o}$

Xét tam giác vuông MON, có:

+$\sin \widehat{MON}=\frac{MN}{OM}=\frac{MN}{1}=MN$

$\Rightarrow MN=OP=\sin {60}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

+$\cos \widehat{MON}=\frac{ON}{OM}=\frac{ON}{1}=ON$

$\Rightarrow ON=\cos {60}^{o}=\frac{1}{2}$.

Ta có điểm M nằm bên trái trục Oy (vì là góc tù).

Suy ra điểm M có tọa độ là M$(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Suy ra

+$\tan {120}^{o}=\frac{\sin {120}^{o}}{\cos {120}^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}:(-\frac{1}{2})\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\ .\ (-2)=-\sqrt{3}\ \cot {120}^{o}=\frac{\cos {120}^{o}}{\sin {120}^{o}}\ =(-\frac{1}{2}).\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.

Tọa độ của hai điểm M và M’ là: M(x$_{0}$; y$_{0}$), M’(–x$_{0}$; y$_{0}$).

Ta có: $\widehat{xOM}=α,\ \widehat{xOM'}={180}^{o}-α$ .

Khi đó:

∙ sin α = y$_{0}$, cos α = x$_{0}$.

∙ sin (180$^{o}$ – α) = y$_{0}$, cos (180$^{o}$ – α) = –x$_{0}$ hay x$_{0}$ = – cos (180$^{o}$ – α).

Do đó: sin α = sin (180$^{o}$ – α) (= y$_{0}$), cos α = – cos (180$^{o}$ – α) (= x$_{0}$).

Vậy sin α = sin (180$^{o}$ – α), cos α = – cos (180$^{o}$ – α).

Ta có:$α=\widehat{AOM};\ {90}^{o}-α=\widehat{AON}$

Dễ thấy: $\widehat{AON}=\ {90}^{o}-α={90}^{o}-\widehat{NOB\Rightarrow α=\widehat{NOB}}$ .

Xét ∆NOQ và ∆MOP có:

$\widehat{MPO}=\widehat{NQO}={90}^{o}$

OM = ON = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

$\widehat{POM}=\widehat{QON}\ (\widehat{AOM}=\widehat{NOB}=α)$.

Do đó ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90$^{o}$ – α).

Ta có: OP = $\text{cos}α$, OQ = $\text{sin}({90}^{0}-α)$

$\Rightarrow \text{sin}({90}^{0}-α)=cosα$.

Do đó: cos α = sin (90$^{o}$ − α).