12 Bài tập Chứng minh các đẳng thức, hệ thức liên quan (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Theo định lý cô sin ta có ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B$.

$\Rightarrow c.\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}$ (1)

Lại có ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C$$\Rightarrow b\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}}$ (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được: $b.\cos C + c.\cos B = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a$.

Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.

Hướng dẫn giải

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

$\Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}$ (1)

Thay ${a^2} = 2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)$ vào (1) ta được:

$\frac{{2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}$$\Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}$

Suy ra ${\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng định lý hệ quả sin ta có $\sin A = \frac{a}{{2R}}$, $\sin B = \frac{b}{{2R}}$, $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Do đó ta có: sin$^{2}$A = sinB.sinC $\Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$$\Leftrightarrow {a^2} = bc$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Suy ra $\sin A = \frac{{a.\sin C}}{c}$; $\sin B = \frac{{b.\sin C}}{c}$.

Lại có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$; $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$.

Do đó: $\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\frac{{a.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}$

$\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{\frac{{b.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}$.

Vậy $\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Diện tích tam giác AMN là: ${S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN.\sin \widehat {MAN}$.

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}$.

Do $\widehat {MAN} = \widehat {BAC}$ (hai góc trùng nhau)

Nên $\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}$.