12 Bài tập Chứng minh các đẳng thức, hệ thức liên quan (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Theo định lý cô sin ta có ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B$.

$\Rightarrow c.\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}$ (1)

Lại có ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C$$\Rightarrow b\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}}$ (2)

Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được: $b.\cos C + c.\cos B = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a$.

Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.

Hướng dẫn giải

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

$\Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}$ (1)

Thay ${a^2} = 2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)$ vào (1) ta được:

$\frac{{2\left( {{b^2} - {c^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}$$\Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C}}$

Suy ra ${\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B - {{\sin }^2}C} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Áp dụng định lý hệ quả sin ta có $\sin A = \frac{a}{{2R}}$, $\sin B = \frac{b}{{2R}}$, $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Do đó ta có: sin$^{2}$A = sinB.sinC $\Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$$\Leftrightarrow {a^2} = bc$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$

Suy ra $\sin A = \frac{{a.\sin C}}{c}$; $\sin B = \frac{{b.\sin C}}{c}$.

Lại có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$; $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$.

Do đó: $\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\frac{{a.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}$

$\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{\frac{{b.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}$.

Vậy $\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Diện tích tam giác AMN là: ${S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN.\sin \widehat {MAN}$.

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}$.

Do $\widehat {MAN} = \widehat {BAC}$ (hai góc trùng nhau)

Nên $\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$

Suy ra: $\sin A = \frac{{2S}}{{bc}}$; $\sin B = \frac{{2S}}{{ac}}$; $\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}$.

Lại có: $\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$; $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$.

Do đó, ta có:

sin B. cos C + sin C. cos B

= $\frac{{2S}}{{ac}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + \frac{{2S}}{{ab}}.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$

$= \frac{S}{{{a^2}bc}}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)$

$= \frac{S}{{{a^2}bc}}.2{a^2} = \frac{{2S}}{{bc}} = \sin A$.

Vậy sinA = sin B. cos C + sin C. cos B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$

Suy ra: $\sin A = \frac{{2S}}{{bc}}$.

Theo hệ quả định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$.

Do đó: $\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Suy ra a = 2R.sin A; b = 2R.sin B; c = 2R.sin C.

Lại có: $S = \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{2R.\sin A.2R.\sin B.2R.\sin C}}{{4R}}$ = $2{R^2}.\sin A.\sin B.\sin C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác ABC, theo định lý côsin ta có:

b$^{2}$ = a$^{2}$ + c$^{2}$ − 2ac.cosB;

c$^{2}$ = a$^{2}$ + b$^{2}$ − 2ab.cosC.

Do đó ta có:

b$^{2}$ – c$^{2}$ = (a$^{2}$ + c$^{2}$ − 2ac.cosB) – (a$^{2}$ + b$^{2}$ − 2ab.cosC)

⇔ b$^{2}$ – c$^{2}$ = c$^{2}$ – b$^{2}$ – 2ac.cosB + 2ab.cosC

⇔ 2b$^{2}$ – 2c$^{2}$ = 2a(b.cosC – c.cosB)

⇔ b$^{2}$ – c$^{2}$ = a(b.cosC – c.cosB).

Vậy b$^{2}$ – c$^{2}$ = a(b.cosC – c.cosB).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Suy ra: $\sin A = \frac{a}{{2R}}$; $\sin B = \frac{b}{{2R}}$; $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Do đó: sin A + sin B + sin C = $\frac{{a + b + c}}{{2R}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Do đó: $\sin A = \frac{a}{{2R}}$; $\sin B = \frac{b}{{2R}}$; $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Ta có: 2sin B – 2sin C = 2.$\frac{b}{{2R}}$ − 2.$\frac{c}{{2R}}$ = $\frac{{b - c}}{R}$.

Mà b – c = $\frac{a}{2}$ hay a = 2(b – c) nên sinA = $\frac{a}{{2R}}$= $\frac{{2\left( {b - c} \right)}}{{2R}} = \frac{{b - c}}{R}$.

Vậy sinA = 2sinB – 2sinC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo định lý sin ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Do đó: $\sin A = \frac{a}{{2R}}$; $\sin B = \frac{b}{{2R}}$; $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Ta có: sin B + sin C = $\frac{b}{{2R}}$ + $\frac{c}{{2R}}$ = $\frac{{b + c}}{{2R}}$.

Mà b + c = 2a nên 2sin A = $\frac{{2a}}{{2R}}$= $\frac{{b + c}}{{2R}}$.

Vậy 2 sin A = sin B + sin C.