10 bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế có lời giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$ và (Oxy) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Do đó $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 2} \right).0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{3}$ (AB, (Oxy)) ≈ 19°.

Đáp án đúng là: C

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng đi qua A nhận $\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{2}$ (, (Oxy)) = 30°.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a nhận $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương, đường thẳng b nhận $\overrightarrow {PQ} = \left( {2;3;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|}} = \frac{8}{{21}}$ (a, b) ≈ 68°.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)$.

Mặt phẳng (OAB) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Mặt khác $\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)$ nên ta có:

$\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{13\sqrt {12} }}$.

Suy ra (CA, (OAB)) ≈ 40°.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + 0.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {70} }}$.