10 bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế có lời giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$ và (Oxy) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Do đó $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 2} \right).0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{3}$ (AB, (Oxy)) ≈ 19°.

Đáp án đúng là: C

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng đi qua A nhận $\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{2}$ (, (Oxy)) = 30°.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a nhận $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương, đường thẳng b nhận $\overrightarrow {PQ} = \left( {2;3;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|}} = \frac{8}{{21}}$ (a, b) ≈ 68°.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)$.

Mặt phẳng (OAB) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Mặt khác $\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)$ nên ta có:

$\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{13\sqrt {12} }}$.

Suy ra (CA, (OAB)) ≈ 40°.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + 0.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {70} }}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi α là góc giữa đường bay và sân bay. Khi đó α = (AB, (Oxy)).

Với đường thẳng AB, nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {5;6;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Với (Oxy) do Oz (Oxy) nên mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {5.0 + 6.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {70} }}$ α ≈ 21°.

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật ta có:

AB = CD = EF = GH = 10, AE = BF = CG = DH = 7, AD = BC = EH = FG = 24.

Vì EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau nên ta có tam giác IGF cân tại I và có chiều cao kẻ từ I bằng 1. Suy ra

E(0; 0; 7), F(10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8).

Khi đó $\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {FI} = \left( {0;12;1} \right),\overrightarrow {HG} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {GI} = \left( {0; - 12;1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FI} } \right] = \left( {0; - 10;120} \right) = - 10\left( {0;1; - 12} \right)$,

$\left[ {\overrightarrow {HG} ,\overrightarrow {GI} } \right] = \left( {0; - 10; - 120} \right) = - 10\left( {0;1;12} \right)$.

Do đó mặt phẳng (EFIK) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1; - 12} \right)$.

Mặt phẳng (HGIK) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;12} \right)$.

Gọi φ là góc giữa hai mái nhà.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {0.0 + 1.1 + \left( { - 12} \right).12} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{143}}{{145}}$ φ ≈ 9,5°.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3.0 + 0.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra (AB, (Oxy)) = 45°.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 1.1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {0 + 1 + 0} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (d, (P)) = 45°.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {4;0; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;9;0} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)$.

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;2} \right)$.

Lại có, (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có góc α là góc giữa mái nhà bên phải và nên nhà. Khi đó:

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ α ≈ 27°.