10 Bài tập Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO ^ BD.

Vì AA' ^ (ABCD) ⇒ AA' ^ BD mà AO ^ BD nên BD ^ (AOA') ⇒ BD ^ A'O.

Khi đó: $\{\begin{matrix}({A}^{'}BD)\cap (ABD)=BD \\ {A}^{'}O\perp BD \\ AO\perp BD\end{matrix}\Rightarrow [{A}^{'},BD,A]=\widehat{{A}^{'}OA}=30^{\circ}$ .

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD mà O là tâm hình vuông nên $AO=\frac{AC}{2}=a$ .

Xét DA'AO vuông tại A, ta có:$\text{tan}\widehat{{A}^{'}OA}=\frac{A{A}^{'}}{AO}\Rightarrow A{A}^{'}=\frac{1}{\sqrt{3}}.a=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề (1) sai. Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.

Đáp án đúng là: A

Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AC (1).

Do ABCD là hình vuông nên BD ^ AC (2).

Từ (1) và (2), suy ra AC ^ (BB'D) mà AC Ì (AB'C) nên (AB'C) ^ (BB'D).

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm BC, khi đó $MA=MC'=\sqrt{{a}^{2}+{(\frac{a}{2})}^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ nên M thuộc mặt phẳng trung trực của AC'. Tương tự ta cũng có các điểm N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm DC, DD', D'A', A'B', B'B và cũng thuộc mặt phẳng trung trực.

Vậy thiết diện cần tìm là lục giác đều MNPQRS.

Có $MN=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó diện tích của lục giác đều bằng $6.{(\frac{a\sqrt{2}}{2})}^{2}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$

Đáp án đúng là: D

Tổng số đo các góc của hình lục giác là 720°. Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên mỗi góc của hình lục giác đều ABCDEF là 120° $\Rightarrow \widehat{FAB}=120^{\circ}$ .

Vì ABCDEF là hình lục giác đều nên ta suy ra:

AD là tia phân giác của góc $\widehat{FAB}$ và $\widehat{EDC}$ . $\Rightarrow \widehat{FAD}=\frac{\widehat{FAB}}{2}=60^{\circ}$

Tam giác AFD vuông tại F có $\widehat{FAD}=60^{\circ}$và AD = a ta suy ra: $\cos \widehat{FAD}=\frac{AF}{AD}\Rightarrow AF=AD.\cos \widehat{FAD}=a.\cos 60^{\circ}=a.\frac{1}{2}=\frac{a}{2}$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có: (ABCD) Ç (ABC') = AB.

Vì BB' ^ (ABCD) ⇒ BB' ^ AB mà AB ^ BC ⇒ AB ^ (BB'C'C) ⇒ AB ^ BC'.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC') bằng góc giữa hai đường thẳng BC và BC'.

Mà (BC, BC') = $\widehat{CB{C}^{'}}=60^{\circ}$.

Xét DCBC' vuông tại C, có $\tan \widehat{CB{C}^{'}}=\frac{C{C}^{'}}{CB}\Rightarrow C{C}^{'}=CB.\tan \widehat{CB{C}^{'}}=a.\tan 60^{\circ}=a\sqrt{3}$ .

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tam giác đều A.BCD có H là trọng tâm của tam giác đáy BCD và DH cắt BC tại I.

Ta có AH ^ (BCD) ⇒ AH ^ BC (1).

Tam giác BCD đều và H là trọng tâm của tam giác BCD nên DI ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (AHI) ⇒ BC ^ AI.

Do đó góc giữa mặt bên (ABC) và mặt đáy (BCD) là $\widehat{AIH}$ .

Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên AI là đường cao và $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác BCD đều có H là trọng tâm nên $IH=\frac{1}{3}DI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ .

Có AH ^ (BCD) nên tam giác AIH vuông tại H. Khi đó $\cos \widehat{AIH}=\frac{IH}{AH}=\frac{1}{3}$ .

Đáp án đúng là: B

.

Vì SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ AB mà OI ^ AB nên AB ^ (SOI) ⇒ AB ^ SI.

Do đó góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) là .

Vì OI là đường trung bình của DABC nên $OI=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ và$SO=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ .

Xét DSOI vuông tại O, có $\tan \widehat{SIO}=\frac{SO}{OI}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SIO}=60^{\circ}$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi D là trung điểm của BC.

Vì DABC đều nên AD ^ BC và $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vì AA' ^ (ABC) nên AM ^ BC mà AD ^ BC ⇒ BC ^ (ADM) ⇒ BC ^ MD.

Do đó góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là $\widehat{MDA}$ .

Xét DMAD vuông tại A, có $\tan α=\frac{AM}{AD}=\frac{3a}{4}.\frac{2}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Vì S.ABC là hình chóp đều nên SH ^ (ABC) (H là trọng tâm DABC).

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì ABC là tam giác đều nên AI ^ BC (1) và $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Mà SH ^ (ABC) nên SH ^ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC ^ (SAI) ⇒ BC ^ SI.

Do đó góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là $\widehat{SIH}=60^{\circ}$ .

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên $HI=\frac{1}{3}AI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ .

Xét DSHI vuông tại H, có SH = HI.tan60° = $\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}$ .