Trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian lớp 12 (có đúng sai, trả lời ngắn)

Chọn B

Hai mặt phẳng (P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;4;3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 4; - 3} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2.

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 4.\left( { - 4} \right) + 3.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{26}}{{26}} = 1$.

Suy ra (d1, d2) = 0°.

Chọn D

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Đường thẳng AB và AC lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra (AB, AC) = 60°.

Chọn A

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Chọn B

Mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đường thẳng d nhận $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{2}$.

Suy ra (d, (P)) = 30°.

Chọn C

Vì Oy $\perp$ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Chọn C

Ta có $\left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right) = 120^\circ \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 60^\circ$.

Chọn C

Ta có $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz), $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó $\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.\left( { - 1} \right) + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra ((Oxz), (P)) = 45°.

Chọn B

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.\left( { - 4} \right) + \left( { - 2} \right).1 + \left( { - 3} \right).5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{21}}{{14\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra (d1, d2) = 30°.

Chọn D

Mặt phẳng (ABC) có phương trình $\frac{{3x}}{8} + \frac{y}{2} + \frac{{5z}}{8} = 1$$\Leftrightarrow 3x + 4y + 5z - 8 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;4;5} \right)$.

Đường thẳng D có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 3; - 4; - 5} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {\Delta ,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 3} \right) + 4.\left( { - 4} \right) + 5.\left( { - 5} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{50}}{{50}} = 1$.

Suy ra (D, (ABC)) = 90°.

a) $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (P).

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng D thỏa mãn. Do đó M $\in$ D.

c) Đường thẳng D có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;1;0} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + 1.\left( { - 2} \right) + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra (D, (P)) = 45°.

d) Gọi $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {a;b;c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của d.

Do d // (P) nên $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 2c = 0$ (1).

Vì $\cos \left( {d,\Delta } \right) = \cos 45^\circ$ nên $\frac{{\left| { - a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$\Leftrightarrow \left| { - a + b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$$\Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

$\Leftrightarrow {c^2} = - 2ab$(2).

Từ (1) và (2) có $\left\{ \begin{array}{l}a - 2b + 2c = 0\\{c^2} + 2ab = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\{c^2} + 2\left( {2b - 2c} \right)b = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\{\left( {c - 2b} \right)^2} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b - 2c\\c = 2b\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - c\\c = 2b\end{array} \right.$.

Chọn b = 1 $\Rightarrow a = - 2;c = 2$.

Suy ra đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là $\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 4}}{2}$ hay $\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Một vectơ chỉ phương của D là $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$.

b) $\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

$\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$.

c) $\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 30^\circ$.

d) Gọi M = D $\cap$(P).

Vì M $\in$ D $\Rightarrow$ H(3 + t; 4 + 2t; −3 −t).

Mà M $\in$ (P) nên $2\left( {3 + t} \right) + 4 + 2t - 3 - t - 1 = 0$$\Leftrightarrow t = - 2$.

Vậy M(1; 0; −1).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Một vectơ chỉ phương của D là $\overrightarrow u = \left( { - 1; - 2;1} \right)$.

b) Một vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

c) $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 1$.

Vậy (D, (P)) = 90°.

d) Vì D $\perp$ (P) nên A' trùng B'. Do đó A'B' = 0.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1; - 2;2} \right)$

a) Khi m = 0, đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;0} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra (d1, d2) = 45°.

b) Trục Ox có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

$\cos \left( {{d_1},Ox} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \left( { - 2} \right).0 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{3}$.

c) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)$,

Đường thẳng D đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với (P) nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)$.

Khi đó $\cos \left( {{d_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + \left( { - 2} \right).2 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{9}$.

d) Số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 bằng 90° khi hai đường thẳng vuông góc.

Khi đó $\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow - 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}$.

Suy ra $a = - 3;b = 2$. Vậy ${a^2} + {b^2} = 13$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\Delta :\frac{{x - 2024}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2025}}{{ - 2}}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)$.

b) $\left( P \right):2x + 2y - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;2;; - 1} \right)$.

c) Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1.2 - 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{8}{9}$.

Suy ra ${\cos ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - {\sin ^2}\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = 1 - \frac{{64}}{{81}} = \frac{{17}}{{81}}$$\Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\sqrt {17} }}{9}$.

d) $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{8}{9} \Rightarrow \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) \approx 63^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;0; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1, d2.

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| { - 1.2 + 2.0 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{{15}}$.

Suy ra $a = 4;b = 15;c = 5 \Rightarrow b - 3a + c = 15 - 3.4 + 5 = 8$.

Trả lời: 8.

Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng D1 tại B, ta có $B\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right) \in {\Delta _1}$.

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {2t + 2;t + 2; - t - 1} \right)$ mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 1;2;2} \right)$.

Gọi φ là góc giữa d và (P), ta có $\sin \varphi = \frac{{\left| { - 2t - 2 + 2t + 4 - 2t - 2} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} = \frac{{\left| {2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }} \ge 0$.

Suy ra d tạo với mặt phẳng (P) một góc φ nhỏ nhất khi φ = 0° hay sinφ = 0 Þ t = 0.

Khi đó đường thẳng d đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 1} \right)$.

Vậy $a = 2;b = 2;c = - 1 \Rightarrow a + 2b - 3c = 2 + 2.2 - 3.\left( { - 1} \right) = 9$.

Trả lời: 9.

Mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A, B nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}b - 1 = 0\\a - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow a = b = 1$.

(P) tạo với (Oyz) một góc 60° nên $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {2 + {c^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = - \sqrt 2$.

Khi đó $a + b + c = 2 - \sqrt 2 \approx 0{,}59$.

Trả lời: 0,59.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3;4; - 1} \right)$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

Góc α giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)).

Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \Rightarrow \alpha \approx 11^\circ$.

Trả lời: 11.

Đường thẳng ống thoát nước nhận $\overrightarrow {AB} \left( {4;4; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Khi đó $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {16 + 16 + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }} \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 10^\circ$.

Trả lời: 10.