TopStudy

Toán · Lớp 12

(Trả lời ngắn) 18 bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có lời giải)

18 câu · 27 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm
Cho hàm số F(x)F\left( x \right) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2−4x+1f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 và F(2)=2F\left( 2 \right) = 2. Tính F(3)F\left( 3 \right).
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có F(x)=∫f(x)dx=∫(3x2−4x+1)dx=x3−2x2+x+CF\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx = {x^3} - 2{x^2} + x + C}. Mà F(2)=2F\left( 2 \right) = 2 nên suy ra C=0C = 0

Vậy hàm số F(x)=x3−2x2+xF\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x. Suy ra F(3)=12F\left( 3 \right) = 12.

Câu 2

1 điểm
Cho hàm số F(x)F\left( x \right) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(x2−2)(2x+1)f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right) và F(−1)=16F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}. Tính F(−12)F\left( { - \frac{1}{2}} \right) (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Trả lời: 0,490{,}49

Ta có: f(x)=(x2−2)(2x+1)f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)=2x3+x2−4x−2= 2{x^3} + {x^2} - 4x - 2.

Suy ra F(x)=∫f(x)dx=∫(2x3+x2−4x−2)dxF\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2{x^3} + {x^2} - 4x - 2} \right){\rm{d}}x}

=∫2x3dx+∫x2dx−∫4xdx−∫2dx= \int {2{x^3}{\rm{d}}x} + \int {{x^2}{\rm{d}}x} - \int {4x{\rm{d}}x} - \int {2{\rm{d}}x}

=12x4+13x3−2x2−2x+C, C∈R= \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x + C,\,C \in \mathbb{R}

Mà F(−1)=16F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6} nên suy ra C=0C = 0.

Vậy hàm số F(x)==12x4+13x3−2x2−2x⇒F(−12)=4796≈0,49F\left( x \right) = = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x \Rightarrow F\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{47}}{{96}} \approx 0{,}49

Câu 3

1 điểm
Một vật được ném lên từ độ cao 300 m với vận tốc được cho bởi công thức v(t)=−9,81t+29,43 (m/s)v\left( t \right) = - 9{,}81t + 29{,}43\,\left( {{\rm{m/s}}} \right) (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Gọi h(t) (m)h\left( t \right)\,\left( {\rm{m}} \right) là độ cao của vật tại thời điểm t(s)t\left( {\rm{s}} \right). Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu được ném lên thì vật đó chạm đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét)?
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Trả lời: 11

Ta có: h(t)=∫v(t)dt=∫(−9,81t+29,43)dt=−9,812t2+29,43t+Ch\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( { - 9{,}81t + 29{,}43} \right){\rm{d}}t} = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + C.

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên h(0)=300⇒C=300h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300.

Vậy h(t)=−9,812t2+29,43t+300h\left( t \right) = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300. Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với h(t)=0h\left( t \right) = 0.

Nên ta có: −9,812t2+29,43t+300=0⇔t≈11- \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11 hoặc t≈−5t \approx - 5.

Do t>0t > 0 nên t≈11 (s)t \approx 11\,\left( {\rm{s}} \right).

Câu 4

1 điểm
Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -6t = 12 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đáp số: 12 mét

Câu 5

1 điểm
Một ô tô đang chạy với vận tốc 36km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a(t) = 1 + t/3 (m/s2^{2}) tính quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đáp số: 90 mét

Câu 6

1 điểm
Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m/s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + 20, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét?
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là a(t) = 3t + t2^{2} (m2^{2}/s). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t) = 10t - t2,^{2,} trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 25 m/s, gia tốc trọng trường là 9,8 m/s2^{2}. Quảng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm đất gần bằng kết quả nào nhất trong các kết quả sau:
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t) = 10t - t2^{2} trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là:
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 15m/s thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó 50m, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -3t + 15 (m/s) , trong đó t (giây). Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Hình minh hoạ

a) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu giây?

b) Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? Xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không?

c) Nếu người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh khẩn cấp thì xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc 72km/h thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó 40m, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -10t + 20 (m/s), trong đó t (giây). Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian t (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Hình minh hoạ

a) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu giây?

b) Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét? Xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không?

c) Nếu người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh khẩn cấp thì xe ô tô có gặp tai nạn do va chạm với chướng ngại vật không?

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm

Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v(t)=24,5−9,8t (m/s)v\left( t \right) = 24{,}5 - 9{,}8t\,\left( {m/s} \right).

a) Tính quãng đường viên đạn đi sau 2 giây đầu.

b) Tính quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm giây là h′(t)=10t+500(m3/s)h'\left( t \right) = 10t + 500\left( {{m^3}/s} \right). Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm
Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t)h\left( t \right) là thể tích nước bơm được sau tt giây. Cho h′(t)=3at2+bt(m3/s)h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt{\rm{ }}\left( {{m^3}/s} \right) và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là . Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm
Gọi h(t)(m)h\left( t \right){\rm{ }}\left( m \right) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h′(t)=15t3(m/s)h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}{\rm{ }}\left( {m/s} \right) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm
Sự sản sinh vi rút Zika ngày thứ tt có số lượng là N(t)N\left( t \right) con, biết N′(t)=1000tN'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t} và lúc đầu đám vi rút có số lượng 250.000 con. Tính số lượng vi rút sau 10 ngày.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm
Gọi h(t)h(t)là chiều cao của cây keo (tính theo mét) sau khi trồng tt năm. Biết rằng năm đầu tiên cây cao 1,5m, trong những năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ h′(t)=1t4h'(t) = \frac{1}{{\sqrt[4]{t}}} (mét /năm). Sau bao nhiêu năm cây cao được 3m.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 18
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp · Các bộ sách Toán Lớp 12