(Trả lời ngắn) 18 bài tập Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (có lời giải)

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = } \int {\left( {3{x^2} - 4x + 1} \right)dx = {x^3} - 2{x^2} + x + C}$. Mà $F\left( 2 \right) = 2$ nên suy ra $C = 0$

Vậy hàm số $F\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x$. Suy ra $F\left( 3 \right) = 12$.

Trả lời: $0{,}49$

Ta có: $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {2x + 1} \right)$$= 2{x^3} + {x^2} - 4x - 2$.

Suy ra $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {2{x^3} + {x^2} - 4x - 2} \right){\rm{d}}x}$

$= \int {2{x^3}{\rm{d}}x} + \int {{x^2}{\rm{d}}x} - \int {4x{\rm{d}}x} - \int {2{\rm{d}}x}$

$= \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x + C,\,C \in \mathbb{R}$

Mà $F\left( { - 1} \right) = \frac{1}{6}$ nên suy ra $C = 0$.

Vậy hàm số $F\left( x \right) = = \frac{1}{2}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} - 2x \Rightarrow F\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{47}}{{96}} \approx 0{,}49$

Trả lời: 11

Ta có: $h\left( t \right) = \int {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int {\left( { - 9{,}81t + 29{,}43} \right){\rm{d}}t} = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + C$.

Vì vật được ném lên từ độ cao 300 m nên $h\left( 0 \right) = 300 \Rightarrow C = 300$.

Vậy $h\left( t \right) = - \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300$. Khi vật bắt đầu chạm đất ứng với $h\left( t \right) = 0$.

Nên ta có: $- \frac{{9{,}81}}{2}{t^2} + 29{,}43t + 300 = 0 \Leftrightarrow t \approx 11$ hoặc $t \approx - 5$.

Do $t > 0$ nên $t \approx 11\,\left( {\rm{s}} \right)$.

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của $v\left( t \right)$ nên:

$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 3t + 15} \right)} \,dx = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - \frac{{3{t^2}}}{2} + 15t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3t + 15 = 0 \Rightarrow t = 5$.

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 5 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

$s\left( 5 \right) = - \frac{{{{3.5}^2}}}{2} + 15.5 = 37{,}5\left( m \right)$

Do $50 > 37{,}5$ nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường $15m$ trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : $15 + 37{,}5 = 52{,}5\left( m \right)$

Do $50 < 52{,}5$ nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

a) quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của $v\left( t \right)$ nên:

$$s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dx = \int {\left( { - 10t + 20} \right)\,} \,dx = - 5{t^2} + 20t + C$$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = - 5{t^2} + 20t$

Khi xe dừng hẳn thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 20 = 0 \Rightarrow t = 2$.

Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 2 giây

b) Sau khi đạp phanh đến khi dừng hẳn, xe đi được quãng đường:

$s\left( 2 \right) = - {5.2^2} + 20.2 = 20\left( m \right)$

Do $40 > 20$ nên xe ô tô dừng hẳn trước khi va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn không xảy ra.

c) $72\;km/h = 20m/s$

người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường, sau đó 1 giây mới phản ứng đạp phanh nên xe đi được quãng đường $20m$ trong 1 giây

Tổng quãng đường xe đi được đến khi dừng hẳn là : $20 + 20 = 40\left( m \right)$

Do chướng ngại vật trên đường cách đó $40m$ xe khi bắt đầu đạp phanh nên xe ô tô va chạm chướng ngại vật. Vì thế tai nạn xảy ra.

a) Quãng đường viên đạn đi được là: $s\left( t \right) = \int {\left( {24{,}5 - 9{,}8t} \right)} \,dx = 24{,}5t - 4{,}9{t^2} + C$

$\Rightarrow s\left( t \right) = 24{,}5t - 4{,}9{t^2} + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow s\left( 0 \right) = 0$

$\Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow s\left( t \right) = 24{,}5t - 4{,}9{t^2}$

sau 2 giây đầu quãng đường viên đạn đi là $s\left( 2 \right) = 24{,}5.2 - {4{,}9.2^2} = 29{,}4m$

b) khi viên đạt đạt độ cao lớn nhất thì $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 24{,}5 - 9{,}8t = 0 \Leftrightarrow t = 2{,}5\left( s \right)$

quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là: $s\left( {2{,}5} \right) = 2\left( {24{,}5.2{,}5 - {{4{,}9.2{,}5}^2}} \right) = 61{,}25m$

Ta có :

$h'\left( t \right) = 10t + 500$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {10t + 500} \right)} dx = 5{t^2} + 500t + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = 5{t^2} + 500t$

thủy điện đã xả lũ trong 40 phút = 2400 giây thì thoát đi một lượng nước là:

$h\left( {2400} \right) = {5.2400^2} + 500.2400 = {3.10^3}\left( {{m^3}} \right)$

Ta có :

$h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\left( {3a{t^2} + bt} \right)} dt = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2} + C$$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^3} + \frac{1}{2}b{t^2}$$

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là : $h\left( 5 \right) = 150 \Leftrightarrow 125a + \frac{{25}}{2}b = 150$

Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là :$h\left( {10} \right) = 1100 \Leftrightarrow 1000a + 50b = 1100$

Ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}125a + \frac{{25}}{2}b = 150\\1000a + 50b = 1100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

$$\Rightarrow h\left( t \right) = {t^3} + {t^2}$$

thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là $h\left( {20} \right) = {20^3} + {20^2} = 8400{m^3}$

Ta có :

$h'\left( t \right) = \frac{1}{5}\sqrt[3]{t}$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \int {\frac{1}{5}\sqrt[3]{t}} dx = \frac{1}{5}\int {{t^{\frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{5}\frac{{{t^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t} + C$

Chọn $t = 0 \Rightarrow h\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow h\left( t \right) = \frac{3}{{20}}t\sqrt[3]{t}$

mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây: $h\left( 6 \right) = \frac{3}{{20}}.6\sqrt[3]{6} \approx 1{,}64m$

Ta có :

$N'\left( t \right) = \frac{{1000}}{t}$

$\Rightarrow N\left( t \right) = \int {\frac{{1000}}{t}dt = 1000\ln \left| t \right|} + C$

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + C$

Chọn $t = 1 \Rightarrow N\left( 1 \right) = 250000 \Rightarrow C = 250000$

$\Rightarrow N\left( t \right) = 1000\ln \left| t \right| + 250000$

số lượng vi rút sau 10 ngày là: $N\left( {10} \right) = 1000\ln 10 + 250000 \approx 252302$

Ta có: $h'(t) = \frac{1}{{\sqrt[4]{t}}}$$\Rightarrow h(t) = \int {\frac{1}{{\sqrt[4]{t}}}} dt = \int {{t^{ - \frac{1}{4}}}} dt = \frac{{{t^{ - \frac{1}{4} + 1}}}}{{^{ - \frac{1}{4} + 1}}} + C = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + C$$\Rightarrow h(t) = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + C$

năm đầu tiên cây cao 1m nên $h(1) = 1{,}5 \Leftrightarrow 1{,}5 = \frac{4}{3}\sqrt[4]{1} + C \Rightarrow C = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow h(t) = \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + \frac{1}{6}$

cây cao được 3m nên $h(t) = 3 \Leftrightarrow \frac{4}{3}\sqrt[4]{{{t^3}}} + \frac{1}{6} = 3 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{{t^3}}} = \frac{{17}}{8} \Rightarrow t \approx 2{,}73$