(Trả lời ngắn) 17 bài tập Phương trình mặt cầu (có lời giải)

Đáp án: $\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$

Mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm là $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$.

Suy ra, mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$ có tâm là $I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$.

Đáp án: $m < 1$ hoặc $m > 2$.

Điều kiện để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình mặt cầu là: ${\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} - 19m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0$$\Leftrightarrow m < 1$ hoặc $m > 2$.

Đáp án: $\frac{{\sqrt {14} }}{2}$

Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì $O$, $A$, $B$, $C$ thuộc $\left( S \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\1 + 2a + d = 0\\4 - 4c + d = 0\\9 + 6b + d = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{3}{2}\\c = 1\\d = 0\end{array} \right.$.

Vậy bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$$= \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1}$$= \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.

Đáp án: $P = 9$

Vì mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên $d\left( {I,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Ozx} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)$ $\Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = - c\\a = - b = c\\a = - b = - c\end{array} \right.$

Nhận thấy chỉ có trường hợp $a = - b = c$ thì phương trình $AI = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)$ có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

Với $a = - b = c$ thì $I\left( {a;\, - a;\,a} \right)$

$AI = d\left( {I,\,\left( {Oyx} \right)} \right)$$\Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0$ $\Leftrightarrow a = 3$

Khi đó $P = a - b + c = 9$.

Đáp án: $m = \sqrt 3$

Mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1$ có tâm $I\left( {3\,;\,0\,;\,2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{m^2} + 1}$.

$\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( {Oxy} \right)$$\Leftrightarrow d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = R$

$\Leftrightarrow 2 = \sqrt {{m^2} + 1}$$\Leftrightarrow {m^2} = 3$$\Leftrightarrow m = \sqrt 3$ (do $m$ dương).