84 bài tập Xác định tâm, bán kính của mặt cầu và lập phương trình mặt cầu (có lời giải)

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính $R = 1$.

b) Đường kính AB, với $A(1; - 1;2),B(2; - 3; - 1)$.

Trong không gian Oxyz, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 2 = 0.$

Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình:

(S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$.

Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y - 8z + 100 = 0$.

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 5y - 2z - \frac{3}{4} = 0$.

c) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2xy + 6y - 9z + 10 = 0$.

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0$

c) ${x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0$;

d) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0$.

Viết phương trình mặt cầu $(S)$ :

a) Có tâm $I(7; - 3;0)$, bán kính $R = 8$;

b) Có tâm $M(3;1; - 4)$ và đi qua điểm $N(1;0;1)$;

c) Có đường kính AB với $A(4;6;8)$ và $B(2;4;4)$.

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 5x - 7y + z - 1 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 6y - 2z + 100 = 0$;

c) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - x - y - z + \frac{1}{2} = 0$.

Cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: ${x^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 5)^2} = 49$.

a) Xác định toạ độ tâm $I$ và tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

b) Điểm $A(0;3; - 5)$ có thuộc mặt cầu $(S)$ hay không?

c) Điểm $B(1; - 4; - 1)$ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $(S)$ ?

d) Điểm $C(7;3; - 5)$ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $(S)$ ?

e) Lâp phương trình tham số của đường thẳng IC.

g) Xác định tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng IC và mặt cầu.

Lập phương trình mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(S)$ có tâm $I(3; - 4;5)$ bán kính 9 .

b) $(S)$ có tâm $K( - 4;6;7)$ và đi qua điểm $H( - 5;4;5)$.

c) $(S)$ có đường kính AB với $A(1;3; - 1)$ và $B( - 1; - 1; - 5)$.

Cho mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính 2 .

a) Lập phương trình mặt cầu $(S)$.

b) Lấy các điểm $A(1;0; - 1)$ và $B(1;1;0)$. Lâp phương trình đường thẳng AB. Tìm toạ độ các điểm $C$ và $D$ là giao điểm của đường thẳng AB và mặt cầu (S).

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm $I(1;2;3)$ bán kính $R = 10$;

b) Tâm $I(3; - 1; - 5)$ và đi qua điểm $B(0;2;1)$.

Viết phương trình của mặt cầu, biết:

a) Tâm $O$ bán kính $R$ với $O$ là gốc toạ độ;

b) Đường kính AB với $A(1;2;1),B(3;4;7)$.

Mỗi phương trình sau có là phương trình mặt cầu hay không? Vì sao?

a) $2{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y + 2z + 1 = 0$

b) ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 8z - 3 = 0$.

Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (nếu có).

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z + 14 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 20 = 0$.

Cho mặt cầu có phưởng trình ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 7)^2} = 100$.

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm $A(1;1;1),B(9;4;7),C(9;9;10)$ nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Cho phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0$.

Chứng minh rằng phương trình trên là phưởng trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lập phương trình mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(S)$ có tâm $I(3; - 7;1)$ và bán kính $R = 2$;

b) $(S)$ có tâm $I( - 1;4; - 5)$ và đi qua điểm $M(3;1;2)$;

c) $(S)$ có đường kính là đoạn thẳng CD với $C(1; - 3; - 1)$ và $D( - 3;1;2)$.

Cho bốn điểm $A(0;1;3),B( - 1;0;5),C(2;0;2)$ và $D(1;1; - 2)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ và một vectơ vuông góc vởi cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của các đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(ABC)$.

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 8x - 6y + 2z - 10 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y - 6z + 33 = 0$.

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4z - 32 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 2y - 2z + 4 = 0$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {z^2} = 5$.

a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

b) Hỏi gốc toạ độ $O(0;0;0)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$ ?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình ${(x + 2)^2} + {y^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}{\rm{. }}$

a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

b) Hỏi điểm $M(2;0;1)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$ ?

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:

a) Tâm $I\left( {\frac{3}{2};0; - 3} \right)$, bán kính $R = \frac{9}{4}$.

b) Đường kính AB, với $A(1;2;1)$ và $B(3;1;5)$.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong các trường hợp sau:

a) Tâm là gốc toạ độ, bán kính $R = 1$.

b) Đường kính AB, với $A(1; - 1;2),B(2; - 3; - 1)$.

Trong không gian Oxyz, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z - 2 = 0.$

Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz, cho $(S)$ là tập hợp các điểm $M(x;y;z)$ có toạ độ thoả mãn phương trình:

(S): ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0$.

Chứng minh rằng $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $M( - 3;1;4)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (2; - 4;1)$;

b) $(P)$ đi qua điểm $N(2; - 1;5)$ và có cặp vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = (1; - 3; - 2)$ và ${\vec u_2} = ( - 3;4;1)$;

c) $(P)$ đi qua điểm $I(4;0; - 7)$ và song song với mặt phẳng $(Q):2x + y - z - 3 = 0$;

d) $(P)$ đi qua điểm $K( - 4;9;2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}$.

Viết phương trình của mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(S)$ có tâm $I(4; - 2;1)$ và bán kính $R = 9$;

b) $(S)$ có tâm $I(3;2;0)$ và đi qua điểm $M(2;4; - 1)$;

c) $(S)$ có đường kính là đoạn thẳng AB với $A(1;2;0)$ và $B( - 1;0;4)$.

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương $OBCD \cdot {O^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có $O(0;0;0),B(a;0;0),D(0;a;0),{O^\prime }(0;0;a)$ với $a > 0$.

a) Chứng minh rằng đường chéo ${O^\prime }C$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {O{B^\prime }{D^\prime }} \right)$.

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo ${O^\prime }C$ và mặt phẳng $\left( {O{B^\prime }{D^\prime }} \right)$ là trọng tâm của tam giác $O{B^\prime }{D^\prime }$.

c) Tính khoảng cách từ điểm ${B^\prime }$ đến mặt phẳng $\left( {{C^\prime }BD} \right)$.

d) Tính côsin của góc giửa hai mặt phẳng $\left( {C{O^\prime }D} \right)$ và $\left( {{C^\prime }BD} \right)$.

Cho bốn điềm $A(1;0;0),B(0;1;0)$, $C(0;0;1),D( - 2;1; - 1)$.

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình chóp.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Trong không gian Oxyz, xác định tâm $I$ và bán kính $r$ của mặt cầu có phương trình:

a) ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 16$;

b) ${(x + 2)^2} + {y^2} + {(z + 3)^2} = 4$.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu $(S)$ :

a) Có tâm $O$, bán kính $r$;

b) Có tâm $I(1;2; - 3)$, bán kính $r = 5$.

Mỗi phương trình sau đây có là phương trình mặt cầu hay không? Nếu có, hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z + 5 = 0$;

b) ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4y + 6z + 20 = 0$.

Cho bốn điểm $A( - 2;6;3),B(1;0;6)$, $C(0;2; - 1),D(1;4;0)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$. Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ chứa AB và song song với CD.

Cho hình hộp chữ nhật $OABC \cdot {O^\prime }{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }$, với $O$ là gốc toạ độ, $A(2;0;0),C(0;6;0)$, ${O^\prime }(0;0;4)$. Viết phương trình:

a) Mặt phẳng $\left( {{O^\prime }AC} \right)$;

b) Đường thẳng ${\rm{C}}{{\rm{O}}^\prime }$;

c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp.

Cho bốn điểm $A(0;1;1),B( - 1;0;3),C(0;0;2)$ và $D(1;1; - 2)$.

a) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]$.

b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(ABC)$.

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Lập phương trình tồng quát của mặt phẳng $(P)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ đi qua điểm $M(6; - 7;10)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (1; - 2;1)$;

b) $(P)$ đi qua điểm $N( - 3;8; - 4)$ và có một cặp vectơ chỉ phương là $\vec u = (3; - 2; - 1),\vec v = (1;4; - 5){\rm{; }}$

c) $(P)$ đi qua điểm $I(1; - 4;0)$ và song song với mặt phẳng $(Q)$ : $5x + 6y - 7z - 8 = 0;$

d) $(P)$ đi qua điểm $K(0; - 3;4)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 7}}{2}{\rm{. }}$

Lập phương trình của mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $(S)$ có tâm $I( - 2;3;8)$ bán kính $R = 100$;

b) $(S)$ có tâm $I(3; - 4;0)$ và đi qua điểm $M(2; - 3;1)$;

c) $(S)$ có đường kính là AB với $A( - 1;0;4)$ và $B(1;0;2)$.

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y - 1}}{{27}} = \frac{{z - 3}}{{ - 27}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 7}}{3}$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{7} = \frac{{y + 9}}{5} = \frac{{z + 15}}{8}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{3} = \frac{{z + 3}}{2}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 17}}{2} = \frac{{y - 33}}{{ - 3}} = \frac{{z + 16}}{2}$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 4 - 2t}\end{array}} \right.$

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và gốc toạ độ $O$.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 1 = 0$ và hai điểm $A(1; - 1;2)$, $B( - 1;1;0)$.

a) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(P)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(1;0;2)$ và hai đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}$, ${d^\prime }:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$.

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và song song với đường thẳng $d$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $A$ và $d$.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(Oxz)$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}\text{và}{d}^{'}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}\text{.}$

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d$ và song song với đường thẳng ${d^\prime }$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 - t}\\{y = - 2 + t}\\{z = 2t.}\end{array}} \right.$

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và ${d^\prime }$.

b) Tính góc giữa $d$ và $d$ '.